4. 实验设计与激励轨迹
参数辨识的精度上限，在数据采集之前就已经被轨迹决定了。如果一条轨迹从未让某个关节产生足够大的加速度，那么与该关节惯量相关的回归列就几乎恒为零，无论后续用最小二乘还是更复杂的优化算法，都无法从数据中"无中生有"地恢复这个参数。因此，激励轨迹设计的核心任务不是"让机器人动起来"，而是让待辨识参数在回归矩阵中呈现出足够强、彼此可区分的作用。
一、从辨识方程看"激励"到底意味着什么
多体系统动力学可线性化为关于惯性参数的回归形式：
τ = Y(q, q̇, q̈) · θ + ε其中 τ 为关节力矩向量，Y 为回归矩阵（由关节位置、速度、加速度构成），θ 为待辨识的惯性参数向量（质量、质心一阶矩、惯性张量等），ε 为噪声与未建模项。辨识问题本质上是求解 θ 使得 Yθ 尽可能逼近 τ。若把 Y 的每一列看作一个"基函数"，那么第 i 个参数能否被辨识，取决于它对应的列是否在采样数据中产生了足够的变化，以及它是否与其他列高度相关。
由此可以引出两个关键概念：可辨识性与条件数。可辨识性关注的是某个参数是否在 Y 的列空间中留下独立痕迹；条件数则衡量 Y 的列之间是否"过于相似"，导致求解对噪声极度敏感。一个参数即使理论上可辨识，如果其对应列与其他列几乎线性相关，实际辨识结果也会因噪声放大而不可信。
二、激励轨迹的构造方式
工程上最常用的激励轨迹是有限项傅里叶级数。对第 j 个关节，令其位置为：
q_j(t) = q_j0 + Σ_{k=1}^{N} [ a_{j,k} sin(kω_f t) + b_{j,k} cos(kω_f t) ]其中 q_j0 为偏置，ω_f 为基频，N 为谐波数，a、b 为待优化系数。傅里叶级数的优势在于：它天然是周期性的，便于重复采集；其速度与加速度可通过解析求导直接得到，无需数值微分；同时通过调整各次谐波的幅值和相位，可以灵活地"注入"不同频率成分，从而激发系统的多阶动态特性。
轨迹优化的目标函数通常取回归矩阵条件数的某种度量，例如最小化 cond(Y) 或其对数，也可采用最小化 Y 的奇异值分布的不均衡程度。约束条件包括：关节位置不超出机械限位、速度与加速度不超过驱动器能力、避免与自身或环境发生碰撞、轨迹首尾连续以便循环执行。
三、避免病态：从"能算"到"算得准"
即使轨迹经过优化，回归矩阵仍可能存在病态。常见原因有三类：一是某些参数本身在动力学中只以组合形式出现（例如某些连杆的惯量与相邻连杆质量耦合），导致列之间天然相关；二是轨迹运动幅度太小，某些列的信噪比过低；三是采样频率与轨迹频率不匹配，造成信息混叠。
应对策略包括：对参数进行可辨识性分析，通过 QR 分解或奇异值分解找出哪些参数组合是可辨识的，将不可辨识的参数合并或固定；对回归矩阵进行列归一化，使各参数的量级差异不主导条件数；采用正则化最小二乘（如岭回归）抑制噪声放大；以及在轨迹优化中直接加入对最小奇异值的约束，避免出现接近零的奇异值。
下面这张图展示了一条激励轨迹从参数化、约束、优化到可辨识性检验的完整信号链，以及条件数在其中的反馈作用。
四、一个可操作的示例流程
假设一台 2 自由度平面机械臂，待辨识参数包括两连杆的质量、质心位置和转动惯量，共 6 个参数。设计步骤如下：
- 确定基频与谐波数：根据关节带宽和采样频率，取基频 ω_f = 0.5 Hz，谐波数 N = 4，则轨迹最高频率为 2 Hz，采样频率取 200 Hz 可满足奈奎斯特条件并留足余量。
- 设定约束：关节 1 位置范围 [-90°, 90°]，关节 2 范围 [-120°, 120°]；速度上限 60°/s，加速度上限 200°/s²。
- 初始化系数：各谐波幅值取约束上限的 30%~50%，相位随机分布，保证初始轨迹不触碰边界。
- 优化：以 cond(Y) 为目标，采用序列二次规划或粒子群算法迭代。每轮迭代中，用当前系数生成 q(t)，解析求导得 q̇、q̈，代入动力学模型构造 Y，计算条件数。
- 检验：优化后若 cond(Y) 从初始的 10⁴ 量级降至 10² 量级，且最小奇异值大于设定阈值（例如归一化后的 0.05），则认为轨迹合格。
- 采集与验证：执行轨迹并记录 τ、q、q̇、q̈，用最小二乘求解 θ，再用另一条未参与辨识的验证轨迹比较预测力矩与实测力矩的残差。若残差均方根小于额定力矩的 5%，说明辨识结果可用。
五、常见陷阱与判断依据
实践中，激励轨迹设计最容易出现的问题不是"算不出来"，而是"算出来但不可信"。以下判断依据可以帮助快速定位问题：
| 现象 | 可能原因 | 处理方向 |
|---|---|---|
| 某些参数辨识值接近零或符号异常 | 对应回归列信噪比过低，或与其他列高度相关 | 增大该关节运动幅度，或将该参数与相关参数合并 |
| 条件数很大但残差很小 | 过拟合，噪声被拟合进参数 | 引入正则化，或减少谐波数，或增加采样时长 |
| 验证轨迹残差远大于辨识轨迹残差 | 激励频率覆盖不足，参数外推能力差 | 在轨迹中增加不同频段成分，重新优化 |
| 优化后条件数改善不明显 | 约束过紧，轨迹无法充分激励 | 适当放宽速度/加速度约束，或增加谐波数 |
归根结底，激励轨迹设计是一个"在物理约束下最大化信息量"的问题。傅里叶级数提供了灵活的参数化手段，条件数提供了可量化的优化目标，而可辨识性分析则确保我们不会在不可辨识的方向上浪费数据。三者配合，才能让后续的参数估计建立在可靠的数据基础之上。