1. 单摆运动的多领域仿真建模

单摆的多领域建模思路

单摆看似简单，却天然包含两个不同物理领域的耦合：重力产生的力矩属于机械旋转领域，而摆角与角速度之间的运动学关系属于刚体转动领域。多领域仿真工具（如 Modelica 类工具）的核心价值在于：用非因果方程描述各领域元件，让求解器自动处理耦合，而不是手工推导微分方程。

建模时把单摆拆成三个可复用元件：

• 固定支座：提供旋转自由度参考点，约束平移。
• 无质量摆杆：长度 L，连接支座与摆锤，传递力矩与角度。
• 摆锤：质量 m，绕支点转动惯量 J = m·L²，受重力分量驱动。

重力对摆锤产生的恢复力矩为 τ = −m·g·L·sin(θ)，负号表示力矩始终指向平衡位置。摆锤的转动方程 J·θ̈ = τ。当摆角很小时 sin(θ)≈θ，系统近似简谐；大摆角时周期随振幅增大，这正是仿真能直观展示的非线性效应。

关键参数与初始条件

小角度理论周期 T ≈ 2π√(L/g) = 2π√(0.5/9.81) ≈ 1.418 s。30° 属于中等摆角，实际周期会略大于该值，仿真结果可用于对比这一偏差。

建模连接关系

下图给出单摆的元件拓扑与信号/力矩流向：支座固定于世界坐标系，摆杆一端连支座、另一端连摆锤；重力作为体积力作用于摆锤质心，产生绕支点的力矩，驱动摆角变化。能量在动能与势能之间往复转换。

用方程实现模型

在 Modelica 类工具中，可直接写出摆锤的转动方程，无需手工消元。下面给出核心模型代码，包含参数、变量与方程，可直接放入仿真环境运行。

model SimplePendulum
  parameter Real m = 1.0;        // 摆锤质量 kg
  parameter Real L = 0.5;        // 摆杆长度 m
  parameter Real g = 9.81;       // 重力加速度 m/s^2
  parameter Real theta0 = 0.5236; // 初始摆角 rad (30°)

  Real theta(start = theta0, fixed = true); // 摆角 rad
  Real omega(start = 0, fixed = true);      // 角速度 rad/s
  Real J;                                   // 转动惯量
  Real Ep;                                  // 势能 J
  Real Ek;                                  // 动能 J
  Real E_total;                             // 总机械能 J

equation
  J = m * L^2;
  der(theta) = omega;
  J * der(omega) = -m * g * L * sin(theta); // 重力恢复力矩
  Ep = m * g * L * (1 - cos(theta));
  Ek = 0.5 * J * omega^2;
  E_total = Ep + Ek;
end SimplePendulum;

方程 J*der(omega) = -m*g*L*sin(theta) 是模型的核心：左边是转动惯量乘角加速度，右边是重力力矩。求解器会自动积分得到 θ(t) 与 ω(t)。

仿真设置与结果判读

设置仿真区间 0 到 5 s，步长自适应，容差 1e-6。运行后观察三条曲线：

• 摆角 θ(t)：应呈周期性振荡，峰值约 ±0.524 rad，过零点时角速度最大。
• 角速度 ω(t)：与 θ(t) 相位相差约 90°，在平衡位置处达到峰值。
• 总能量 E_total：无阻尼时应保持恒定，数值波动仅来自积分误差，量级应在 1e-4 J 以下。

能量守恒的验证方法：记录 E_total 的最大值与最小值，若相对波动小于 0.1%，说明模型与求解精度满足要求。若能量持续漂移，应减小容差或改用能量守恒型积分器。