2. 悬臂梁受迫振动频响函数仿真
悬臂梁频响函数仿真：从单位激励到共振峰识别
本例对一根铝制悬臂梁在自由端施加单位简谐激励，扫频计算自由端横向位移的频响函数（FRF），识别前三阶共振峰，并与欧拉-伯努利梁理论解对比，验证仿真设置的正确性。与自由模态仿真不同，这里关注的是受迫响应随频率的变化，因此需要引入阻尼、扫频范围和测点定义。
梁参数（教学示例）：长度 L = 0.5 m，矩形截面 b = 0.02 m，h = 0.005 m，材料铝：E = 70 GPa，ρ = 2700 kg/m³，泊松比 ν = 0.33。边界条件：x = 0 端固支，x = L 端自由。激励与响应均在自由端横向（z 向）。
理论共振频率预估
悬臂梁横向弯曲振动的固有频率理论解为：
f_n = (β_n·L)² / (2π·L²) · sqrt(E·I / (ρ·A))
其中：
I = b·h³ / 12 = 0.02 × 0.005³ / 12 = 2.0833e-10 m⁴
A = b·h = 1.0e-4 m²
sqrt(E·I / (ρ·A)) = sqrt(70e9 × 2.0833e-10 / (2700 × 1e-4))
= sqrt(14.583 / 0.27) = sqrt(54.012) ≈ 7.349 m²/s
悬臂梁特征值 (β_n·L)：
1阶：1.8751 → (1.8751)² = 3.5160
2阶：4.6941 → (4.6941)² = 22.0345
3阶：7.8548 → (7.8548)² = 61.6979
代入 L = 0.5 m：
f_1 = 3.5160 / (2π × 0.25) × 7.349 = 3.5160 / 1.5708 × 7.349 ≈ 16.45 Hz
f_2 = 22.0345 / 1.5708 × 7.349 ≈ 103.1 Hz
f_3 = 61.6979 / 1.5708 × 7.349 ≈ 288.7 Hz扫频范围取 5–350 Hz，覆盖前三阶共振峰。阻尼采用比例阻尼，模态阻尼比 ζ = 0.02（教学假设值），用于在共振峰处产生有限幅值。
仿真设置要点
- 单元类型：采用 3D 实体单元（如六面体），厚度方向至少 2 层单元以捕捉弯曲变形。
- 网格尺寸：沿长度方向约 100 等分，单元尺寸约 5 mm，保证前三阶模态有足够空间分辨率。
- 边界条件：固支端约束全部平动自由度；自由端不施加约束。
- 激励：自由端施加单位简谐力 F = 1 N（z 向），扫频 5–350 Hz，步长 1 Hz。
- 响应测点：自由端同一点提取 z 向位移，计算加速度或位移 FRF。
- 阻尼：在求解器中设置模态阻尼比 ζ = 0.02，或等效为 Rayleigh 阻尼 α、β。
频响函数结果判读
仿真得到的 FRF 幅值曲线应在 16.5 Hz、103 Hz、289 Hz 附近出现明显峰值。判断仿真设置是否正确，主要看三点：
- 峰值频率与理论解偏差是否在 5% 以内（网格收敛后应更小）。
- 峰值处幅值是否有限（阻尼起作用），而非发散。
- 低频段（远离共振）幅值是否接近准静态刚度 1/k，其中 k = 3EI/L³ ≈ 350.6 N/m，对应位移约 2.85 mm/N。
若峰值频率整体偏高，通常是网格过粗导致结构偏刚；若峰值频率偏低，检查固支端是否约束不足或材料参数是否偏软。若峰值幅值异常大，检查阻尼是否遗漏。
关键检查点
| 检查项 | 预期现象 | 异常处理 |
|---|---|---|
| 峰值频率 | 16.5 / 103 / 289 Hz，偏差 ≤ 5% | 偏差大 → 加密网格或检查约束 |
| 峰值幅值 | 有限值，不发散 | 发散 → 补充阻尼设置 |
| 准静态段 | |H| ≈ 2.85 mm/N | 偏离 → 检查单位制与激励幅值 |
| 曲线光滑度 | 无毛刺、无跳变 | 跳变 → 检查扫频步长与求解收敛 |
本例中仿真峰值频率为教学示例预期值，实际运行结果取决于网格密度、单元类型和求解器设置。若使用壳单元或梁单元，厚度方向无需分层，但需确认截面属性正确输入。