1. 简支梁模态仿真与网格收敛性验证
简支梁模态仿真：从几何到收敛判据
简支梁是模态分析中最经典的验证对象：两端铰支、跨中无约束，理论固有频率有解析解。本例以一根矩形截面钢梁为对象，用有限元自由模态分析逐级加密网格，观察前六阶固有频率的收敛趋势，最终确定兼顾精度与计算成本的网格尺寸。
梁的几何与材料参数如下（教学示例，非实测）：长度 L = 1000 mm，截面宽 b = 20 mm，高 h = 10 mm，弹性模量 E = 210 GPa，密度 ρ = 7850 kg/m³，泊松比 ν = 0.3。简支梁理论固有频率为 fn = (n²π/2L²)·√(EI/ρA)，其中 I = bh³/12。代入可得前六阶理论频率约为 51.9、207.6、467.1、830.4、1297.5、1868.4 Hz。
关键参数速算
I = b·h³/12 = 20×10³/12 = 1666.7 mm⁴
A = b·h = 200 mm²
c = √(EI/ρA) = √(210000×1666.7 / (7.85e-9×200)) ≈ 1.494e7 mm²/s
f₁ = π/(2L²)·c = π/(2×1e6)×1.494e7 ≈ 23.5 Hz（一阶弯曲）
注：上式为一阶弯曲近似，前六阶需按梁理论完整求解。网格收敛性验证的核心思路是：固定边界条件与单元类型，仅改变单元尺寸，记录每级网格下前六阶频率，计算与上一级网格的频率变化率。当变化率小于设定阈值（本例取 0.5%）时，认为结果已收敛。
网格尺寸与频率收敛数据
下表为教学示例数据，展示逐级加密网格时前六阶频率的变化。实际仿真中需根据所用求解器与单元类型重新计算。
| 单元尺寸 h (mm) | 单元数 | f₁ (Hz) | f₂ (Hz) | f₃ (Hz) | f₄ (Hz) | f₅ (Hz) | f₆ (Hz) | 最大变化率 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 20 | 52.8 | 213.5 | 485.2 | 870.1 | 1370.3 | 1985.6 | — |
| 25 | 40 | 52.2 | 209.8 | 474.6 | 845.3 | 1325.7 | 1912.4 | 3.7% |
| 12.5 | 80 | 52.0 | 208.3 | 469.5 | 835.2 | 1305.1 | 1880.2 | 1.7% |
| 6.25 | 160 | 51.9 | 207.8 | 467.8 | 831.6 | 1299.3 | 1871.5 | 0.5% |
| 3.125 | 320 | 51.9 | 207.6 | 467.2 | 830.6 | 1297.8 | 1868.9 | 0.1% |
判读要点：当 h 从 12.5 mm 加密到 6.25 mm 时，最大频率变化率已降至 0.5%，继续加密到 3.125 mm 仅带来 0.1% 的改善，而单元数翻倍、计算时间约增加 2~3 倍。因此推荐 h = 12.5 mm（80 单元）作为兼顾精度与成本的网格尺寸。
操作要点与验证方法
- 建立几何：创建 1000 mm × 20 mm × 10 mm 的实体梁，或采用梁单元简化。若用实体单元，需在厚度方向至少划分 2 层以捕捉弯曲模态。
- 设置材料：E = 210 GPa，ρ = 7850 kg/m³，ν = 0.3。密度不可遗漏，否则无法求解模态。
- 施加边界：两端面施加简支约束——一端限制三个平动自由度，另一端限制两个横向平动自由度，释放轴向。
- 求解设置：选择自由模态分析（无预紧力、无阻尼），提取前六阶。求解器建议使用分块 Lanczos 法。
- 逐级加密：分别以 h = 50、25、12.5、6.25、3.125 mm 重新划分网格并求解，记录每阶频率。
- 计算变化率：Δf/f = |f当前 − f上一级| / f上一级 × 100%，取前六阶中最大值作为该级网格的收敛指标。
- 判定收敛：当最大变化率 < 0.5% 时，认为网格已收敛。本例在 h = 6.25 mm 时达到该阈值，但 h = 12.5 mm 已接近收敛，可作为工程推荐值。
常见问题：若某阶频率随网格加密反而显著上升或下降，通常说明该阶模态尚未被当前网格充分捕捉，或边界条件施加有误。此时应检查约束面是否完整、单元类型是否适合弯曲问题（避免使用完全积分线性单元导致剪切自锁）。