2. 机械控制系统建模基础
虚拟样机验证的第一步，是把真实的机械控制系统翻译成计算机能计算的数学形式。机械控制系统通常由四类对象构成：机械传动、执行机构、传感器和控制器接口。它们各自遵循不同的物理规律，但最终都要统一到“输入—状态—输出”的框架下，才能进行仿真与验证。本节围绕这四类对象的数学描述展开，并给出状态空间与传递函数两种建模方法的实际使用方式。
一、四类对象的数学描述
机械传动负责传递运动和力，常见形式包括齿轮副、丝杠螺母、同步带和减速器。以齿轮减速为例，若主动轮齿数 z₁、从动轮齿数 z₂，则转速关系为 n₂ = n₁·z₁/z₂，转矩关系为 T₂ = T₁·z₂/z₁·η，其中 η 为传动效率。丝杠螺母则把旋转运动转为直线运动，导程为 p 时，直线位移 x = θ·p/(2π)。传动环节在建模中通常表现为比例关系加惯量折算，负载惯量需按传动比平方折算到电机侧：J_eq = J_m + J_L/i²。
执行机构把控制量转换为机械运动，典型对象是直流电机、步进电机和液压缸。以直流电机为例，其电气方程为 u = R·i + L·di/dt + K_e·ω，机械方程为 J·dω/dt = K_t·i − B·ω − T_L。其中 K_e 为反电动势常数，K_t 为转矩常数，B 为粘性阻尼系数，T_L 为负载转矩。这两个方程是后续状态空间建模的直接来源。
传感器把物理量转换为电信号，建模时关注三件事：量程、灵敏度与动态特性。编码器输出脉冲数与转角成正比，θ = 2π·N/(P·n)，其中 P 为每转脉冲数，n 为倍频系数。传感器的一阶动态可写为 y(s)/x(s) = 1/(τs+1)，τ 为时间常数，它决定了测量信号对真实变化的滞后程度。
控制器接口连接数字控制器与模拟执行机构，包括 D/A 转换、PWM 输出和采样环节。零阶保持器的传递函数为 G_zoh(s) = (1−e^(−Ts))/s，T 为采样周期。采样周期必须满足香农定理，且对闭环系统而言，T 通常取系统期望带宽对应时间常数的 1/10 以下，否则离散化会明显改变系统动态。
二、状态空间建模方法
状态空间法把系统内部动态用一组一阶微分方程统一描述。以直流电机驱动丝杠为例，选取状态变量 x₁ = θ（电机转角）、x₂ = ω（角速度）、x₃ = i（电枢电流），输入 u = 电枢电压，输出 y = 工作台位移。由前述方程可得：
ẋ₁ = x₂
ẋ₂ = (K_t·x₃ − B·x₂ − T_L)/J
ẋ₃ = (u − R·x₃ − K_e·x₂)/L
y = x₁ · p/(2π)写成矩阵形式，A 为 3×3 系数矩阵，B 为 3×1 输入矩阵，C 为 1×3 输出矩阵，D = 0。若取示例参数 J = 0.002 kg·m²、B = 0.0005 N·m·s/rad、K_t = 0.05 N·m/A、K_e = 0.05 V·s/rad、R = 2 Ω、L = 0.005 H、p = 5 mm，则 A 矩阵第三行第二列约为 −10，第三行第三列约为 −400，说明电流动态比机械动态快约两个数量级，这正是电流环可以单独设计的原因。
状态空间法的优势在于：能直接处理多输入多输出、非线性项和初始条件；便于用数值积分求解；也方便扩展为观测器与状态反馈。在虚拟样机中，状态方程通常直接交给求解器积分，无需手工化简。
三、传递函数建模方法
传递函数法在零初始条件下对微分方程取拉普拉斯变换，得到输出与输入的比值。对上述电机，忽略电感 L 时，从电压到转速的传递函数为：
G(s) = ω(s)/U(s) = K_t / (J·R·s + B·R + K_t·K_e)代入示例参数，分母常数项 B·R + K_t·K_e = 0.001 + 0.0025 = 0.0035，分子 K_t = 0.05，故直流增益约为 14.3 rad/(s·V)，时间常数 τ = J·R/0.0035 ≈ 1.14 s。这意味着电压阶跃输入下，转速约在 3～4 s 后接近稳态值。若再串入丝杠，位移对电压的传递函数需再乘 p/(2πs)，系统由一阶变为带积分环节的二阶系统。
传递函数法适合频域分析：由 G(jω) 可画出伯德图，读取穿越频率与相位裕度，判断闭环稳定性。对于单输入单输出系统，它比状态空间更直观，也更容易与 PID 参数整定对应。
四、两种方法的选用与衔接
两种方法并非互斥。同一系统可由状态空间转换为传递函数：G(s) = C(sI−A)⁻¹B + D；也可由传递函数构造能控标准型状态空间。实际建模时可按以下原则选择：需要观察内部状态（如电流、温度）或系统为多变量时，用状态空间；只需研究输入输出频域特性、设计单回路控制器时，用传递函数。在虚拟样机中，常先用传递函数快速估算带宽与增益，再用状态空间搭建完整模型进行时域仿真，两者结果应相互印证。