3. 伺服电机建模与参数辨识

伺服系统的动态性能上限，很大程度上由电机模型与参数准确度决定。无论是直流电机（DCM）、永磁同步电机（PMSM）还是无刷直流电机（BLDCM），在机电联合仿真中都需要建立“电气方程 + 机械方程 + 电磁转矩耦合”的统一描述。本节从三类电机的方程结构出发，说明反电动势、转矩常数、转动惯量、阻尼与摩擦参数的物理含义，并给出可操作的辨识与仿真验证方法。

一、三类电机的电气-机械方程

先约定符号与正方向：以电机电动状态为正，电流流入电机为正，电磁转矩方向与转速正方向一致，负载转矩阻碍运动。直流电机（他励/永磁）电枢回路方程为：

u_a = R_a·i_a + L_a·di_a/dt + e_a
e_a = K_e·ω
T_e = K_t·i_a
J·dω/dt = T_e - B·ω - T_f - T_L

其中 e_a 为反电动势，K_e 为反电动势常数（V·s/rad），K_t 为转矩常数（N·m/A），J 为转子与负载折算转动惯量，B 为黏性阻尼系数，T_f 为库仑摩擦转矩，T_L 为负载转矩。理想情况下 K_e = K_t（SI 单位制），这是后续辨识的重要约束。

PMSM 在 dq 坐标系下的电压方程为：

u_d = R_s·i_d + L_d·di_d/dt - ω_e·L_q·i_q
u_q = R_s·i_q + L_q·di_q/dt + ω_e·(L_d·i_d + ψ_f)
T_e = 1.5·p·[ψ_f·i_q + (L_d - L_q)·i_d·i_q]

表贴式 PMSM 通常 L_d ≈ L_q，转矩简化为 T_e = 1.5·p·ψ_f·i_q = K_t·i_q，其中 K_t = 1.5·p·ψ_f，ψ_f 为永磁磁链，p 为极对数。BLDCM 常采用两两导通六步换相，其反电动势为梯形波，等效模型可写为：

u = R·i + L·di/dt + e(θ)
e(θ) = K_e·ω·f(θ)   （f(θ) 为梯形波函数，平顶段为 ±1）
T_e = K_t·i

三类电机的机械方程形式一致，差别集中在电气侧的反电动势波形与转矩生成方式。仿真时若忽略换相与梯形波，BLDCM 会被错误地当成直流电机，导致转矩脉动与电流波形失真。

二、反电动势与转矩常数的辨识

反电动势常数 K_e 的物理意义是单位角速度产生的反电动势。最直接的测量方式是“反拖法”：用外部原动机拖动被测电机旋转，使电枢开路，测量线电压或相电压的幅值与频率。对 PMSM，相电压幅值 U_m 与电角速度 ω_e 满足 U_m = ω_e·ψ_f，因此 ψ_f = U_m/ω_e，再结合 K_t = 1.5·p·ψ_f 得到转矩常数。对 BLDCM，需取梯形波平顶段的幅值，避免用峰值直接代入。

转矩常数 K_t 也可用堵转法辨识：锁定转子，给定恒定电流 i，用转矩传感器测量输出转矩 T_e，则 K_t = T_e/i。实际操作中应取多个电流点（如 0.5A、1A、1.5A、2A）做线性拟合，斜率即 K_t，截距反映摩擦与测量偏置。若 K_e 与 K_t 偏差超过 5%，应检查单位换算、极对数或磁链饱和影响。

三、转动惯量、阻尼与摩擦参数的辨识

转动惯量 J 的辨识常用加减速法。在已知转矩 T_e 和负载 T_L 的条件下，记录转速上升段或下降段的 dω/dt，由 J = (T_e − T_L − B·ω − T_f)/(dω/dt) 计算。若 B 和 T_f 未知，可先做空载自由停车实验：断开电枢，让电机从某一转速自由减速，此时 J·dω/dt = −B·ω − T_f。以 ω 为横轴、dω/dt 为纵轴做线性回归，斜率对应 −B/J，截距对应 −T_f/J。若已知 J，即可分离出 B 与 T_f。

另一种方法是恒速扫描法：让电机在多个恒定转速下运行，测量维持该转速所需的电磁转矩 T_e。由于恒速时 dω/dt = 0，有 T_e = B·ω + T_f + T_L。若 T_L 已知或为空载，则 T_e 与 ω 呈线性关系，斜率即 B，截距即 T_f。建议取 5～8 个转速点，覆盖额定转速的 10%～100%，并注意低速段摩擦可能偏离库仑模型。

四、仿真验证与参数修正

将辨识得到的 R、L、K_e、K_t、J、B、T_f 代入仿真模型后，需用同一组实验数据做对比验证。推荐验证工况包括：

• 阶跃电压响应：观察电流上升时间、转速超调与稳态误差，验证 R、L、J 的匹配程度。
• 恒转矩负载突加：在稳态运行中突加负载，观察转速跌落与恢复时间，验证 K_t 与 J。
• 自由停车曲线：对比仿真与实测的转速衰减曲线，验证 B 与 T_f。
• 电流环阶跃：验证电气时间常数 L/R 与电流环带宽。

若仿真与实测在低速段偏差较大，优先检查摩擦模型是否应改为 Stribeck 模型；若高速段偏差大，检查反电动势是否受磁链饱和或温度影响。参数辨识不是一次性的，建议在冷态与热态各做一次，取工作温度附近的参数作为仿真输入。

五、参数记录表示例

下表给出某台示例 PMSM 的辨识参数记录格式，数值为教学假设值，实际使用时需替换为实测结果。

完成参数录入后，建议在仿真中先跑开环电压阶跃，确认电流与转速的稳态值符合 ω_ss ≈ (u − R·i_ss)/K_e 的关系，再接入电流环与速度环。只有电气与机械参数在同一组实验数据下都能复现，模型才具备后续联合仿真的可信度。