2. 电机控制系统建模基础

故障注入与容错仿真的可信度，首先取决于电机模型是否忠实反映了真实电磁与机电能量转换关系。若模型本身在坐标约定、参数定义或控制框架上存在偏差，后续注入的匝间短路、位置传感器偏移、母线电压跌落等故障，其响应就会被模型误差掩盖，导致容错策略的验证结论失去意义。本节从三类电机的数学模型出发，梳理坐标变换这一共同工具，再落到矢量控制与直接转矩控制两种主流框架，为后续故障建模提供统一的“被控对象底座”。

三类电机的数学模型：从直流到交流的统一视角

他励直流电机的模型最直观：励磁绕组建立磁通 Φ，电枢电压 U_a 与反电动势 E_a = C_e Φ n 平衡，电磁转矩 T_e = C_t Φ I_a，机械方程 J dω/dt = T_e − T_L − B ω。由于励磁与电枢在物理上解耦，转矩仅由电枢电流控制，这也是直流电机调速性能优良的根本原因。在仿真中，直流电机常被用作容错控制的“基准对象”，因为其模型简单、故障机理清晰，便于验证观测器与容错算法的基本正确性。

永磁同步电机（PMSM）的定子电压方程在 dq 旋转坐标系下可写为：

u_d = R_s i_d + L_d di_d/dt − ω_e L_q i_q
u_q = R_s i_q + L_q di_q/dt + ω_e (L_d i_d + ψ_f)
T_e = 1.5 p_n [ψ_f i_q + (L_d − L_q) i_d i_q]

其中 ψ_f 为永磁体磁链，p_n 为极对数，ω_e 为电角速度。表贴式 PMSM 通常 L_d ≈ L_q，转矩近似正比于 i_q；内置式 PMSM 存在磁阻转矩项，可利用 i_d < 0 实现弱磁或提升效率。故障注入时，定子匝间短路会改变 R_s 与 L_d、L_q 的对称性，永磁体退磁则直接降低 ψ_f，这些参数变化都应在模型中显式体现。

感应电机（IM）在 dq 坐标系下的模型更复杂，因为转子磁链由定子电流与转差共同建立：

u_sd = R_s i_sd + dψ_sd/dt − ω_e ψ_sq
u_sq = R_s i_sq + dψ_sq/dt + ω_e ψ_sd
0 = R_r i_rd + dψ_rd/dt − (ω_e − ω_r) ψ_rq
0 = R_r i_rq + dψ_rq/dt + (ω_e − ω_r) ψ_rd
T_e = 1.5 p_n (ψ_rd i_sq − ψ_rq i_sd)

转子电压为零是笼型转子的特征。感应电机的转子时间常数 T_r = L_r / R_r 对磁链观测影响极大，转子电阻随温度漂移会直接导致间接磁场定向失准，这也是感应电机容错控制中需要重点补偿的参数。

坐标变换：把交流量搬到直流量上控制

三相静止坐标系 abc 下的电压、电流是时变交流量，直接设计控制器困难。Clarke 变换将三相合成到两相静止 αβ 坐标系，Park 变换再按转子磁场位置 θ_e 旋转到 dq 坐标系。若采用恒幅值约定，Clarke 变换矩阵前系数为 2/3；若采用恒功率约定，则为 √(2/3)。两种约定下转矩公式与控制器增益会不同，仿真前必须与控制器代码统一，否则会出现“模型正确但转矩差 1.5 倍”的典型错误。

以 PMSM 为例，若实测三相电流 i_a、i_b、i_c，先算 i_α = (2/3)(i_a − 0.5 i_b − 0.5 i_c)，i_β = (2/3)(√3/2)(i_b − i_c)，再算 i_d = i_α cosθ_e + i_β sinθ_e，i_q = −i_α sinθ_e + i_β cosθ_e。θ_e 的零位定义为 d 轴与 α 轴重合，正方向为逆时针。若编码器零位存在 Δθ 偏移，则实际 i_d、i_q 与控制器读取值之间产生旋转误差，表现为转矩下降与 d 轴电流异常，这正是位置传感器故障注入的典型场景。

矢量控制与直接转矩控制框架

矢量控制（FOC）的核心是“磁场定向”：将电流分解为励磁分量 i_d 与转矩分量 i_q，分别闭环。以 PMSM 为例，典型结构为转速外环输出 i_q*，i_d* 在基速以下设为零，两个电流环经 PI 调节后输出 u_d*、u_q*，再经反 Park 与 SVPWM 驱动逆变器。FOC 的容错研究常围绕电流传感器故障后的电流重构、位置传感器故障后的无位置控制展开，因为这两类故障直接破坏定向所依赖的 i_d、i_q 与 θ_e。

直接转矩控制（DTC）则跳过旋转坐标与 PWM 调制，直接以定子磁链 ψ_s 和转矩 T_e 为控制量，通过滞环比较器输出状态，再查开关表选择电压矢量。DTC 结构简单、动态响应快，但转矩脉动较大。其容错研究多集中在磁链观测器对定子电阻变化的鲁棒性，以及逆变器开关故障后开关表的重构策略。

面向故障注入的建模检查清单

上述参数为教学示例，实际仿真时应以所研究电机铭牌与实验辨识结果为准。建模阶段把坐标约定、参数定义和故障注入点三者对齐，后续的容错算法验证才有可比较的基准。