毫米波雷达基础：FMCW雷达工作原理、发射与接收信号模型、中频信号生成与采样

调频连续波（FMCW，Frequency Modulated Continuous Wave）雷达是毫米波雷达最主流的实现体制。与脉冲雷达不同，FMCW雷达持续发射频率随时间线性变化的射频信号，通过混频器将发射信号与接收回波进行差频处理，直接得到包含目标距离与速度信息的中频（IF）信号。理解FMCW的发射-接收-混频-采样全链路，是后续进行速度测量与多普勒性能验证的理论基石。本章将从信号模型出发，逐步拆解中频信号的产生机理与数字化采集要点。

2.1 FMCW雷达工作原理与线性调频信号

FMCW雷达的核心思想是：通过发射频率随时间线性变化的连续波，将目标距离和速度信息编码在回波信号的频率偏移中。发射信号频率在单个调频周期（Chirp）内从起始频率 \( f_0 \) 线性增加到 \( f_0 + B \)，其中 \( B \) 为扫频带宽，\( T_c \) 为调频周期。频率变化率（调频斜率）定义为 \( S = B / T_c \)。

发射信号的瞬时频率可表示为：

f_tx(t) = f_0 + S·t,  0 ≤ t ≤ T_c

对应的发射信号相位为频率的积分，因此发射信号可写为：

x_tx(t) = A_tx · cos(2π·f_0·t + π·S·t² + φ_0)

当电磁波遇到目标后反射，接收信号是发射信号的延迟副本。若目标初始距离为 \( R \)，径向速度为 \( v \)，则往返延迟时间 \( \tau(t) = 2(R + v·t) / c \)，其中 \( c \) 为光速。接收信号为：

x_rx(t) = A_rx · cos(2π·f_0·(t-τ) + π·S·(t-τ)² + φ_0)

这里需要特别注意：延迟时间 \( \tau \) 本身随时间变化，这正是多普勒效应的来源。当目标静止时，\( \tau \) 为常数；当目标运动时，\( \tau \) 的时变特性导致接收频率产生额外的多普勒偏移。

2.2 发射与接收信号模型：从时延到差频

FMCW雷达的关键处理步骤是将发射信号（作为本振）与接收信号进行混频。混频器输出包含和频项与差频项，经过低通滤波器后，仅保留差频分量，即中频信号：

x_if(t) = A_if · cos(2π·S·τ·t + 2π·f_0·τ - π·S·τ²)

将 \( \tau(t) = 2(R + v·t)/c \) 代入，并忽略高阶小项（\( \tau^2 \) 项通常极小），得到：

x_if(t) ≈ A_if · cos(2π·(S·2R/c + 2v/λ)·t + 4π·R/λ)

其中 \( \lambda = c/f_0 \) 为载波波长。中频信号的频率由两部分组成：

• 距离相关频率：\( f_R = S·2R/c \)，与目标距离成正比，是距离维FFT的基础。
• 速度相关频率：\( f_D = 2v/\lambda \)，即多普勒频率，与目标径向速度成正比。

值得注意的是，中频信号的初始相位 \( 4πR/λ \) 也包含距离信息，但该相位对距离极其敏感（波长量级），通常用于速度维度的精细测量。在实际系统中，一个Chirp内的中频信号频率近似为 \( f_{IF} = f_R + f_D \)，由于 \( f_R \) 通常远大于 \( f_D \)，单Chirp内难以直接分离距离和速度。

2.3 中频信号生成与采样：从模拟到数字

中频信号经过低通滤波和放大后，进入ADC进行数字化采样。采样过程需要满足奈奎斯特采样定理，即采样率 \( f_s \) 必须大于中频信号最高频率的两倍。中频信号的最高频率由最大探测距离决定：

f_IF_max = S·2R_max/c

例如，若最大探测距离 \( R_{max} = 200 \text{ m} \)，调频斜率 \( S = 100 \text{ MHz/μs} \)，则 \( f_{IF\_max} = 100 \times 10^{12} \times 2 \times 200 / (3 \times 10^8) = 133.3 \text{ MHz} \)。实际系统中，ADC采样率通常取 2~4 倍的最高中频频率，以留出抗混叠滤波器的过渡带。

采样后的数字中频信号在一个Chirp内包含 \( N_s = f_s \cdot T_c \) 个采样点。这些采样点构成距离维FFT的输入。对于速度测量，需要连续发射多个Chirp（通常为 64~256 个），每个Chirp的采样数据按行排列成二维矩阵，距离维FFT后，再沿Chirp维进行多普勒FFT，即可得到距离-多普勒图（Range-Doppler Map）。

2.4 案例拆解：单目标距离与速度联合测量

为加深理解，我们设计一个典型的单目标测量场景。假设某77GHz FMCW雷达参数如下：带宽 \( B = 4 \text{ GHz} \)，调频周期 \( T_c = 40 \text{ μs} \)，ADC采样率 \( f_s = 20 \text{ Msps} \)，每个Chirp采样 \( N_s = 800 \) 点，连续发射 \( M = 128 \) 个Chirp。目标位于距离 \( R = 50 \text{ m} \) 处，以 \( v = 20 \text{ m/s} \) 远离雷达。

第一步：计算中频频率。距离频率 \( f_R = S·2R/c = (100 \times 10^{12}) \times (2 \times 50) / (3 \times 10^8) = 33.33 \text{ MHz} \)。多普勒频率 \( f_D = 2v/λ = 2 \times 20 / 0.0039 \approx 10.26 \text{ kHz} \)。由于 \( f_D \) 远小于 \( f_R \)，单Chirp内中频频率近似为 33.33 MHz。

第二步：距离维FFT。对每个Chirp的800个采样点做FFT，频率分辨率为 \( \Delta f = 1/T_c = 25 \text{ kHz} \)，对应距离分辨率为 \( \Delta R = c/(2B) = 3.75 \text{ cm} \)。目标峰值出现在第 \( k = f_R / \Delta f = 33.33 \times 10^6 / 25 \times 10^3 = 1333.2 \) 个频点附近，取整后为第1333个距离门。

第三步：多普勒维FFT。将128个Chirp的同一距离门数据取出，做多普勒FFT。多普勒分辨率 \( \Delta f_D = 1/(M·T_c) = 1/(128 \times 40 \mu s) = 195.3 \text{ Hz} \)，对应速度分辨率 \( \Delta v = \Delta f_D \cdot λ/2 = 195.3 \times 0.0039/2 \approx 0.38 \text{ m/s} \)。目标多普勒峰值出现在第 \( m = f_D / \Delta f_D = 10260 / 195.3 \approx 52.5 \) 个频点，取整为第53个多普勒门。

第四步：结果验证。测量距离 \( R = 1333 \times 3.75 \text{ cm} = 49.99 \text{ m} \)，测量速度 \( v = 53 \times 0.38 = 20.14 \text{ m/s} \)，与真实值吻合。误差主要来自FFT栅栏效应，可通过补零或插值算法提高精度。

2.5 总结与设计要点

FMCW雷达的信号模型揭示了距离与速度测量的本质：距离通过中频频率的延迟项提取，速度通过多普勒频率提取。中频信号的生成质量直接取决于混频器的线性度、本振的相位噪声以及低通滤波器的截止特性。在系统设计时，需统筹考虑以下参数约束：

• 带宽与距离分辨率：带宽越大，距离分辨率越高，但ADC采样率和数据处理量也随之增加。
• 调频周期与最大速度：调频周期越短，最大不模糊速度越大，但距离分辨率不变，多普勒分辨率变差。
• 采样率与最大距离：采样率决定可无混叠采样的最高中频频率，进而限制最大探测距离。
• Chirp数量与速度分辨率：Chirp数量越多，速度分辨率越高，但帧周期变长，影响实时性。