2. 密码学基础回顾：对称加密与非对称加密、哈希函数、数字签名、密钥交换协议、椭圆曲线密码学（ECC）基础

本章作为《密码算法安全通信：国密算法实现源码实战》的基础铺垫，系统回顾现代密码学的核心构件。理解这些基础概念是掌握国密算法（SM2/SM3/SM4/SM9）的前提。我们将从对称加密与非对称加密的对比开始，逐步深入到哈希函数、数字签名、密钥交换协议，最后建立椭圆曲线密码学（ECC）的数学直觉。

2.1 对称加密与非对称加密

加密算法根据密钥的使用方式分为两大类：对称加密与非对称加密。对称加密使用同一个密钥进行加密和解密，速度快，适合大量数据加密；非对称加密使用公钥加密、私钥解密，解决了密钥分发问题，但性能较慢。

2.2 哈希函数

哈希函数将任意长度的输入数据映射为固定长度的输出（摘要），具有单向性、抗碰撞性和雪崩效应。哈希函数不是加密算法（不可逆），而是数据完整性校验的核心工具。

• SM3：国密哈希标准，输出 256 位（32 字节）摘要，安全强度等同于 SHA-256。
• 应用场景：数字签名（先哈希后签名）、消息认证码（HMAC）、密码存储、区块链。
• 安全要求：抗强碰撞（找到两个不同输入产生相同摘要）需达到 2^(n/2) 计算复杂度。

from gmssl import sm3

data = b"Hello, 国密世界！"
digest = sm3.sm3_hash(data)
print(digest.hex())  # 输出 64 位十六进制字符串

2.3 数字签名

数字签名提供身份认证、数据完整性和不可否认性。签名者使用私钥对消息的哈希值进行签名，验证者使用签名者的公钥验证签名。

2.4 密钥交换协议

密钥交换协议允许通信双方在不安全的信道上协商出一个共享密钥。经典的 Diffie-Hellman（DH）协议基于离散对数难题，而 ECDH 将其迁移到椭圆曲线上，效率更高。

• DH 协议：双方各自生成私钥 a、b，计算公钥 A = g^a mod p、B = g^b mod p，交换公钥后计算共享密钥 K = B^a = A^b = g^(ab) mod p。
• ECDH 协议：在椭圆曲线上，私钥为整数 d，公钥为点 Q = d * G（G 为基点），共享密钥为双方私钥与对方公钥的点乘结果。
• 国密实现：SM2 密钥交换协议基于 ECDH，并增加了身份认证和密钥确认步骤，防止中间人攻击。

2.5 椭圆曲线密码学（ECC）基础

ECC 是目前最高效的公钥密码体系之一，在同等安全强度下，ECC 的密钥长度远小于 RSA。国密 SM2 算法正是基于 ECC 的椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）和椭圆曲线密钥交换协议（ECDH）。

2.5.1 椭圆曲线方程

密码学中使用的椭圆曲线是定义在有限域上的 Weierstrass 方程：

y² = x³ + ax + b  (mod p)

其中：
- p 为大素数，定义有限域 Fp
- a, b 为域内常数，满足 4a³ + 27b² ≠ 0 (mod p)
- 所有点 (x, y) 加上无穷远点 O 构成阿贝尔群

2.5.2 点加与标量乘法

ECC 的核心运算是点加和标量乘法。标量乘法 k * P 表示将点 P 自加 k 次，这是 ECC 安全性的数学基础——椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）：已知基点 G 和公钥 Q = d * G，求解私钥 d 在计算上不可行。

2.5.3 国密 SM2 使用的曲线参数

SM2 推荐使用一条 256 位素域上的椭圆曲线，参数如下（十六进制）：

2.6 本章小结

本章回顾了密码学的五大基础构件：

• 对称加密（SM4）—— 高效数据加密
• 非对称加密（SM2）—— 密钥分发与数字签名
• 哈希函数（SM3）—— 数据完整性校验
• 数字签名 —— 身份认证与不可否认性
• 密钥交换协议（ECDH）—— 安全协商共享密钥
• ECC 基础 —— 椭圆曲线离散对数问题与 SM2 曲线参数