2. 半导体物理基础回顾：能带理论、载流子浓度、迁移率、PN结基本方程
器件仿真的本质是在半导体物理方程框架下求解载流子的输运行为。本章系统回顾能带理论、载流子统计、迁移率模型及PN结基本方程，为后续工艺角校准与TCAD仿真提供物理基础。
2.1 能带理论与状态密度
晶体中周期性势场使电子能量形成允带与禁带。导带底 \(E_C\) 与价带顶 \(E_V\) 之间的能量差定义为禁带宽度 \(E_g\)。硅在300K时的 \(E_g \approx 1.12\ \text{eV}\)。
关键概念： 导带、价带、禁带、直接带隙与间接带隙。硅为间接带隙半导体，导带底位于<100>方向，价带顶位于Γ点。
导带底附近的状态密度（单位能量·单位体积）为：
\[ g_C(E) = \frac{(2m_n^*)^{3/2}}{2\pi^2\hbar^3} \sqrt{E - E_C}, \quad E \ge E_C \]价带顶附近的状态密度：
\[ g_V(E) = \frac{(2m_p^*)^{3/2}}{2\pi^2\hbar^3} \sqrt{E_V - E}, \quad E \le E_V \]其中 \(m_n^*\)、\(m_p^*\) 分别为电子和空穴的有效质量。
2.2 载流子浓度与费米能级
热平衡下，电子浓度 \(n_0\) 和空穴浓度 \(p_0\) 由费米-狄拉克分布与状态密度积分得到：
\[ n_0 = N_C \exp\left(-\frac{E_C - E_F}{k_B T}\right), \quad p_0 = N_V \exp\left(-\frac{E_F - E_V}{k_B T}\right) \]其中 \(N_C\)、\(N_V\) 为导带和价带的有效状态密度：
\[ N_C = 2\left(\frac{2\pi m_n^* k_B T}{h^2}\right)^{3/2}, \quad N_V = 2\left(\frac{2\pi m_p^* k_B T}{h^2}\right)^{3/2} \]| 参数 | 符号 | 硅 (300K) 典型值 | 单位 |
|---|---|---|---|
| 导带有效状态密度 | \(N_C\) | \(2.8 \times 10^{19}\) | cm⁻³ |
| 价带有效状态密度 | \(N_V\) | \(1.04 \times 10^{19}\) | cm⁻³ |
| 本征载流子浓度 | \(n_i\) | \(1.5 \times 10^{10}\) | cm⁻³ |
| 禁带宽度 | \(E_g\) | 1.12 | eV |
工程提示： 在TCAD仿真中，\(n_i\) 的温度模型直接影响泄漏电流的校准精度。常用模型包括Slotboom和OldSlotboom，需根据工艺角数据选择。
本征载流子浓度满足质量作用定律：
\[ n_0 p_0 = n_i^2 = N_C N_V \exp\left(-\frac{E_g}{k_B T}\right) \]2.3 迁移率与散射机制
迁移率 \(\mu\) 定义载流子在单位电场下的平均漂移速度。总迁移率由多种散射机制通过Matthiessen规则组合：
\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_{\text{晶格}}} + \frac{1}{\mu_{\text{杂质}}} + \frac{1}{\mu_{\text{表面}}} + \frac{1}{\mu_{\text{载流子-载流子}}} \]TCAD中常用的迁移率模型包括：
- Philips统一迁移率模型： 考虑掺杂、温度、载流子-载流子散射及表面声子散射。
- Lombardi表面迁移率模型： 针对MOSFET沟道区，包含表面粗糙度散射和声子散射。
- Caughey-Thomas模型： 经验公式，适用于体硅迁移率快速估算。
校准注意： 迁移率模型参数（如最大迁移率 \(\mu_{\text{max}}\)、临界掺杂 \(N_{\text{ref}}\)）在不同工艺角下差异显著，必须通过I-V特性曲线进行参数提取与校准。
2.4 PN结基本方程
PN结是半导体器件的基本结构单元。其核心物理由以下方程描述：
2.4.1 内建电势
\[ V_{bi} = \frac{k_B T}{q} \ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right) \]其中 \(N_A\)、\(N_D\) 分别为受主和施主掺杂浓度。
2.4.2 耗尽层宽度
\[ W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\right) (V_{bi} - V_a)} \]\(V_a\) 为外加偏压（正向为正）。
2.4.3 理想二极管方程
\[ I = I_S \left[\exp\left(\frac{qV_a}{n k_B T}\right) - 1\right] \]其中 \(I_S\) 为饱和电流，\(n\) 为理想因子（1~2之间）。
2.4.4 电流输运方程
PN结的总电流密度由扩散电流和漂移电流组成。在耗尽区边界处，少子扩散电流为：
\[ J_n = q D_n \frac{n_p(0) - n_{p0}}{L_n}, \quad J_p = q D_p \frac{p_n(0) - p_{n0}}{L_p} \]其中 \(L_n = \sqrt{D_n \tau_n}\)、\(L_p = \sqrt{D_p \tau_p}\) 为扩散长度，\(\tau\) 为少子寿命。
| 物理量 | 符号 | 方程 | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 内建电势 | \(V_{bi}\) | \(\frac{kT}{q} \ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)\) | 平衡时势垒高度 |
| 耗尽层宽度 | \(W\) | \(\sqrt{\frac{2\varepsilon}{q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)(V_{bi}-V_a)}\) | 空间电荷区厚度 |
| 饱和电流 | \(I_S\) | \(A q n_i^2 \left(\frac{D_n}{L_n N_A} + \frac{D_p}{L_p N_D}\right)\) | 反向漏电流基准 |
| 结电容 | \(C_j\) | \(\frac{\varepsilon A}{W}\) | 耗尽层电容 |
仿真应用： 在TCAD中，PN结的I-V特性仿真需同时开启漂移-扩散输运模型、SRH复合模型、Auger复合模型及带隙窄化模型，才能准确匹配实测数据。
2.5 本章小结
- 能带理论决定了载流子的状态密度分布，是载流子浓度计算的基础。
- 载流子浓度通过费米-狄拉克统计与有效状态密度关联，本征浓度 \(n_i\) 是温度敏感参数。
- 迁移率受多种散射机制共同影响，TCAD中需根据工艺角选择合适的迁移率模型并校准参数。
- PN结的内建电势、耗尽层宽度、理想二极管方程及电流输运方程构成了器件仿真的基本物理框架。