2. PN结耗尽层基础：内建电势与耗尽层宽度公式推导

在分析BJT集电结的厄尔利效应之前，必须首先掌握PN结耗尽层（空间电荷区）的基本物理图像。耗尽层的宽度与内建电势直接决定了集电结在反向偏压下的电场分布，是后续推导厄尔利电压的基石。

2.1 内建电势的物理起源

当P型半导体与N型半导体接触时，由于空穴和电子的浓度梯度，载流子从高浓度区间低浓度区扩散。扩散后，P区留下不可移动的受主负离子（N_A⁻），N区留下施主正离子（N_D⁺），形成从N区指向P区的内建电场。该电场阻止扩散的进一步进行，最终达到热平衡状态，此时费米能级处处相等，在结区产生一个电势差——内建电势 V_bi。

内建电势的表达式可通过泊松方程或能带关系推导得出：

V_bi = (k_B * T / q) * ln( (N_A * N_D) / n_i^2 )

其中：

• k_B：玻尔兹曼常数（1.38×10⁻²³ J/K）
• T：温度（K）
• q：元电荷（1.6×10⁻¹⁹ C）
• N_A：P区受主掺杂浓度（cm⁻³）
• N_D：N区施主掺杂浓度（cm⁻³）
• n_i：本征载流子浓度（cm⁻³）

2.2 耗尽层宽度公式推导

耗尽层近似假设空间电荷区内的载流子完全耗尽，电荷密度仅由电离杂质贡献。对于单边突变结（P⁺N结或N⁺P结），耗尽层主要向轻掺杂一侧展宽。

推导基于一维泊松方程：

d²ψ / dx² = −ρ(x) / ε_s

其中 ρ(x) 为电荷密度，ε_s 为半导体介电常数。对于P⁺N结，耗尽层主要位于N区，边界条件为：

• 在 x = 0 处（冶金结界面），电势 ψ(0) = 0
• 在 x = W_D 处（耗尽层边界），电场 E(W_D) = 0
• 总电势差等于 V_bi − V_a（V_a 为外加电压，反向偏压取负值）

通过两次积分，得到耗尽层宽度 W_D 的通用表达式：

W_D = sqrt( (2 * ε_s / q) * ( (N_A + N_D) / (N_A * N_D) ) * (V_bi − V_a) )

对于单边突变结（N_A ≫ N_D），公式简化为：

W_D ≈ sqrt( (2 * ε_s * (V_bi − V_a)) / (q * N_D) )

2.3 耗尽层宽度与掺杂浓度的关系

下表总结了不同掺杂浓度下耗尽层宽度的变化趋势（以硅材料为例，V_bi − V_a = 1V）：

2.4 内建电势与耗尽层宽度的SVG示意图

下图展示了PN结在热平衡状态下的内建电势分布、耗尽层宽度以及对应的电荷密度分布：