3. 基于成本最小化的多组分线性配方优化

问题建模：把“成本最低”写成线性规划

本节处理的是多组分质量配比下的成本最小化问题。设配方含 n 种原料，第 i 种原料的质量分数为 x_i（以小数计），单价为 c_i（元/kg）。目标函数为配方单位质量成本：

min Z = Σ c_i·x_i

约束分三类：①归一化约束 Σx_i = 1；②性能约束，若某线性可加性能 p 的组分贡献系数为 a_i，则 Σa_i·x_i ≥ P_min（或 ≤ P_max）；③上下界约束 L_i ≤ x_i ≤ U_i，用于表达工艺或法规对单组分用量的限制。线性可加性能的成立前提是理想混合、无体积收缩或膨胀、无化学反应，这一点与二元理想体系换算的假设一致。

下面用一个三组分涂料配方示例贯穿本节。原料为树脂 R、填料 F、溶剂 S，成本与固含量贡献如下表（示例数据，非实测）：

要求成品固含量不低于 55%，即 100x_R + 100x_F + 0·x_S ≥ 55，化简为 x_R + x_F ≥ 0.55。由于溶剂最便宜，成本最小化会本能地把溶剂推到上界，而固含量约束正是阻止这一趋势的关键“刹车”。

求解：顶点枚举与结果判读

三变量问题可消去 x_S = 1 − x_R − x_F，化为二维。目标函数变为 Z = 28x_R + 6x_F + 3(1 − x_R − x_F) = 3 + 25x_R + 3x_F，即最小化 25x_R + 3x_F。约束为 x_R + x_F ≥ 0.55、x_R ∈ [0.30, 0.70]、x_F ∈ [0.10, 0.45]、x_S = 1 − x_R − x_F ∈ [0.05, 0.40]。

线性规划最优解必在可行域顶点取得。逐一检查候选顶点：

• 顶点 A：x_R=0.30，x_F=0.25（固含量约束取等号），x_S=0.45 → 超出 x_S 上界 0.40，不可行。
• 顶点 B：x_R=0.30，x_F=0.30，x_S=0.40（x_S 上界与 x_R 下界同时起作用）→ Z = 28×0.30 + 6×0.30 + 3×0.40 = 8.4 + 1.8 + 1.2 = 11.4 元/kg，固含量 = 60%，满足 ≥55%。
• 顶点 C：x_R=0.30，x_F=0.45，x_S=0.25 → Z = 8.4 + 2.7 + 0.75 = 11.85 元/kg，高于 B。
• 顶点 D：x_R=0.55，x_F=0.10，x_S=0.35 → Z = 15.4 + 0.6 + 1.05 = 17.05 元/kg，明显更高。

比较可知最优解为 B 点：x_R=0.30、x_F=0.30、x_S=0.40，最低成本 11.4 元/kg，固含量 60%。注意固含量约束并未取等号——真正卡住解的是溶剂上界与树脂下界，这说明“约束是否紧”需要看影子价格而非直觉。

用代码求解并做灵敏度检查

手工枚举适合三变量，组分增多后应交给线性规划求解器。下面用 Python 的 scipy.optimize.linprog 完整实现，并输出各约束的松弛量与影子价格，用于判断哪个约束真正“值钱”。

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

# 组分顺序: [树脂R, 填料F, 溶剂S]
c = np.array([28.0, 6.0, 3.0])          # 单价 元/kg
A_ub = np.array([[-100.0, -100.0, 0.0]])  # 固含量 >= 55 转为 -sum <= -55
b_ub = np.array([-55.0])
A_eq = np.array([[1.0, 1.0, 1.0]])       # 归一化
b_eq = np.array([1.0])
bounds = [(0.30, 0.70), (0.10, 0.45), (0.05, 0.40)]

res = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq,
              bounds=bounds, method="highs")
print("success:", res.success)
print("x =", np.round(res.x, 4))
print("cost =", round(res.fun, 4), "元/kg")
print("固含量 =", round(100 * (res.x[0] + res.x[1]), 2), "%")

# 灵敏度: 固含量下限从 50% 扫到 75%
for pmin in range(50, 80, 5):
    r = linprog(c, A_ub=[[-100, -100, 0]], b_ub=[-pmin],
                A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds, method="highs")
    if r.success:
        print(f"Pmin={pmin}%  cost={r.fun:.3f}  x={np.round(r.x,3)}")
    else:
        print(f"Pmin={pmin}%  不可行")

预期输出中 x 应为 [0.30, 0.30, 0.40]，cost 为 11.4。灵敏度扫描会显示：Pmin 在 50%~60% 区间成本恒为 11.4 元/kg（固含量约束不紧），超过 60% 后成本开始上升，直到某一点变为不可行——该临界点即“在给定上下界下可达到的最高固含量”。若求解返回 success=False，说明约束互相冲突，应优先检查上下界之和是否已无法满足归一化或性能下限。

图中绿色区域为满足全部约束的可行域，橙色虚线是固含量下限对应的边界。最优解落在可行域左下角 B 点，由 x_R 下界与 x_S 上界两条边共同“夹”出，而非固含量线——这正是灵敏度扫描中成本在 50%~60% 区间保持不变的原因。把这张图与代码输出对照，可以快速判断某个约束是否值得放宽：只有紧约束的放宽才可能降低成本。