3. 带纯滞后环节的PID整定与稳定性边界测试

对象模型与稳定边界的关系

本节针对的一阶纯滞后对象传递函数为 G(s)=K·e^−τs/(Ts+1)。取教学示例参数：K=1.8、T=4.0 s、τ=1.2 s。纯滞后 e^−τs 在频域上只改变相位、不改变幅值，因此它不消耗幅值裕度，却持续“吃掉”相位裕度——这正是滞后系统比同参数一阶惯性系统更容易振荡的根本原因。临界比例度法正是利用这一特性：把积分、微分置零，只增大比例增益，直到闭环输出出现等幅振荡，此时的增益即临界增益 K_u，振荡周期即临界周期 T_u。

上图把“结构”和“判读”放在同一张图里：左侧闭环链路说明纯滞后串在对象之后、只贡献相位；下方三条包络曲线对应 K_u 扫描的三种结果。工程上判断临界点的依据是输出包络既不收敛也不发散，而不是看某一次峰值大小。对上述示例参数，用频率法可估算相位穿越条件：对象相位为 −arctan(ωT) − ωτ，令其等于 −180° 时解得 ω_u≈1.85 rad/s，对应 T_u=2π/ω_u≈3.4 s；再由幅值条件 K·K_u/√(1+(ω_uT)²)=1 得 K_u≈3.6。这两个值就是后续整定的基准。

临界点测试的实操要点

临界比例度法在仿真或实机上都能做，但必须控制好“逼近”的方式，否则容易把系统推到不安全的大幅振荡。建议按下面的逻辑执行：

• 先断开 I、D：置 Ti=∞（积分增益为 0）、Td=0，只保留比例通道，避免积分在临界点附近累积造成持续偏置。
• 用阶跃而非脉冲激励：给一个幅值较小的设定值阶跃（例如 0.1 单位），观察输出包络。阶跃能同时暴露超调和振荡衰减情况。
• 按比例递增扫描：从明显稳定的 Kp 开始，每次乘以约 1.3~1.5 倍，直到包络由衰减转为等幅。记录此时的 Kp 与相邻两个峰之间的时间间隔作为 T_u。
• 等幅判定要观察 3~4 个周期：单周期内峰值相近不足以判定临界，需确认后续周期峰谷不再明显增大或减小。
• 留安全余量：实机上不要长时间停留在 K_u 附近，判定后立即回退到 0.6~0.7 倍 K_u 再进入正式整定。

由 Ku、Tu 计算 PID 参数

临界比例度法（Ziegler-Nichols 临界振荡法）给出的经验整定公式如下表。表中 K_p 为比例增益，T_i 为积分时间，T_d 为微分时间。

代入示例值 K_u=3.6、T_u=3.4 s，得到 PID 初值：K_p=2.16、T_i=1.7 s、T_d=0.425 s。这组参数通常偏激进，超调会比较大，因此实际投运时建议先把 K_p 降到 1.6~1.8 附近，再根据阶跃响应微调。

可运行的整定与验证脚本

下面用 Python 对上述对象做离散仿真：先扫描 Kp 找临界点，再按公式计算 PID 参数，最后用设定值阶跃验证稳定性，并叠加对象参数摄动（K、T、τ 各变化 ±20%）检验鲁棒性。代码自洽，可直接运行。

import numpy as np

# 对象参数（教学示例）
K, T, tau = 1.8, 4.0, 1.2
dt = 0.01
t_end = 60.0
t = np.arange(0, t_end, dt)
N = len(t)
delay_steps = int(round(tau / dt))

def simulate(kp, ti, td, k=K, tt=T, ta=tau, sp=1.0):
    """离散 PID + 一阶对象 + 纯滞后，返回输出序列"""
    y = np.zeros(N)
    u = np.zeros(N)
    y_hist = np.zeros(N)          # 对象输出历史（用于滞后）
    integ = 0.0
    prev_e = 0.0
    d_steps = int(round(ta / dt))
    for i in range(1, N):
        # 滞后后的测量值
        y_meas = y_hist[i - d_steps] if i - d_steps >= 0 else 0.0
        e = sp - y_meas
        # 积分（ti 为无穷大时视为纯 P）
        if ti is not None and ti > 0:
            integ += e * dt
            i_term = integ / ti
        else:
            i_term = 0.0
        # 微分（对误差差分，简化实现）
        d_term = td * (e - prev_e) / dt if td and td > 0 else 0.0
        prev_e = e
        u[i] = kp * (e + i_term + d_term)
        # 一阶对象离散化（前向欧拉）
        y_hist[i] = y_hist[i-1] + dt * (k * u[i-1] - y_hist[i-1]) / tt
        y[i] = y_hist[i]
    return y

def envelope_ratio(y):
    """用后半段峰谷比判断收敛/等幅/发散"""
    seg = y[N//2:]
    peaks = [seg[i] for i in range(1, len(seg)-1)
             if seg[i] > seg[i-1] and seg[i] > seg[i+1]]
    if len(peaks) < 2:
        return 1.0
    return peaks[-1] / peaks[0] if peaks[0] > 1e-6 else 1.0

# 1) 扫描 Kp 找临界点
print("Kp      包络比   判定")
for kp in [1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.3, 3.6, 3.9, 4.2]:
    y = simulate(kp, None, None)
    r = envelope_ratio(y)
    tag = "衰减" if r < 0.9 else ("等幅≈临界" if r < 1.1 else "发散")
    print(f"{kp:5.2f}  {r:7.3f}  {tag}")

# 2) 按临界法计算 PID 参数（示例 Ku、Tu 由扫描得到）
Ku, Tu = 3.6, 3.4
kp_pid = 0.6 * Ku
ti_pid = Tu / 2
td_pid = Tu / 8
print(f"\nPID 初值: Kp={kp_pid:.2f}, Ti={ti_pid:.2f}s, Td={td_pid:.2f}s")

# 3) 阶跃验证 + 鲁棒性摄动
for label, (k, tt, ta) in {
    "标称": (K, T, tau),
    "K+20%": (K*1.2, T, tau),
    "T+20%": (K, T*1.2, tau),
    "tau+20%": (K, T, tau*1.2),
}.items():
    y = simulate(kp_pid, ti_pid, td_pid, k, tt, ta)
    overshoot = (y.max() - 1.0) * 100
    print(f"{label:8s} 超调={overshoot:6.1f}%  终值={y[-1]:.3f}")

运行后应看到：Kp 在 3.3 附近包络比接近 1，3.6 以上开始发散，与频率法估算的 K_u≈3.6 基本吻合；按公式得到的 PID 参数在标称对象上超调偏大（典型 30%~50%），在 τ 增大 20% 时超调进一步上升——这正是纯滞后系统鲁棒性较差的体现，也是下一步需要降低 Kp 或增大 Ti 的依据。

结果判读与参数微调

验证阶段重点看三个量：超调量、调节时间、以及摄动后的稳定性。对示例对象，若标称超调超过 40%，可先把 Kp 从 2.16 降到 1.8，再把 Ti 从 1.7 s 增到 2.2 s，通常能把超调压到 20% 左右而调节时间增加不多；若 τ 摄动后出现持续振荡，则优先增大 Ti（减弱积分作用）并适当减小 Td，因为微分对滞后环节的相位补偿有限，过大反而放大测量噪声。每次只改一个参数并重跑阶跃，记录超调与调节时间的变化，才能形成可复现的整定路径。