2. 二阶欠阻尼系统PID参数对振荡特性的影响

为什么二阶欠阻尼对象适合观察振荡模态

二阶欠阻尼对象的闭环特征根是一对共轭复根，阶跃响应天然带有“振荡频率”和“衰减比”两个可量化指标。PID 三个增益对这两个指标的作用方向并不相同：比例增益主要改变振荡的激烈程度与频率，积分增益在消除稳态误差的同时倾向于削弱阻尼，微分增益则提供超前相位、增大阻尼。本例用同一对象、同一组采样参数，分别只改变一个增益，记录振荡频率与相邻峰值的衰减比，从而把“参数—振荡模态”的对应关系固定下来。

被控对象取标准二阶形式：

G(s) = ωn² / (s² + 2ζωn·s + ωn²)
取 ωn = 4 rad/s，ζ = 0.15（强欠阻尼），则
G(s) = 16 / (s² + 1.2s + 16)

控制器采用并联（理想）PID 形式 u(t) = Kp·e + Ki·∫e dt + Kd·de/dt，微分项对误差直接微分（不对测量值微分，便于本例观察纯参数效应）。仿真步长 0.001 s，仿真时长 8 s，设定值为单位阶跃，初始状态为零。

可运行的对比仿真脚本

下面脚本不依赖任何控制系统工具箱，用显式欧拉法对“对象状态 + 积分器状态”联立积分，一次运行输出四组参数下的峰值序列、振荡频率与衰减比。所有参数在本例内定义，可直接复制运行。

import numpy as np

# 二阶欠阻尼对象: y'' = -2*zeta*wn*y' - wn^2*y + wn^2*u
wn, zeta = 4.0, 0.15
a1, a2 = 2*zeta*wn, wn**2      # a1=1.2, a2=16

dt, T = 1e-3, 8.0
t = np.arange(0, T, dt)

def simulate(Kp, Ki, Kd, sp=1.0):
    y, dy, ei = 0.0, 0.0, 0.0
    e_prev = sp - y
    ys = np.zeros_like(t)
    for k in range(len(t)):
        e = sp - y
        ei += e * dt                      # 积分器状态
        de = (e - e_prev) / dt            # 误差微分
        u = Kp*e + Ki*ei + Kd*de
        ddy = -a1*dy - a2*y + a2*u        # 对象加速度
        dy += ddy * dt
        y  += dy * dt
        e_prev = e
        ys[k] = y
    return ys

def peaks(ys):
    idx = [i for i in range(1, len(ys)-1)
           if ys[i] > ys[i-1] and ys[i] >= ys[i+1] and ys[i] > 0.5]
    return [(t[i], ys[i]) for i in idx]

def metrics(ys):
    pk = peaks(ys)
    if len(pk) < 2:
        return None
    (t1, y1), (t2, y2) = pk[0], pk[1]
    Td = t2 - t1                          # 振荡周期
    fd = 1.0 / Td                         # 阻尼振荡频率
    ratio = (y2 - 1.0) / (y1 - 1.0)       # 相邻峰值衰减比
    return dict(fd=fd, ratio=ratio, y1=y1, y2=y2)

cases = {
    "基准 Kp=2.0 Ki=0 Kd=0":   (2.0, 0.0, 0.0),
    "增比例 Kp=6.0 Ki=0 Kd=0": (6.0, 0.0, 0.0),
    "加积分 Kp=2.0 Ki=3 Kd=0": (2.0, 3.0, 0.0),
    "加微分 Kp=2.0 Ki=0 Kd=0.4": (2.0, 0.0, 0.4),
}

for name, (Kp, Ki, Kd) in cases.items():
    ys = simulate(Kp, Ki, Kd)
    m = metrics(ys)
    if m:
        print(f"{name:28s} fd={m['fd']:.3f} Hz  "
              f"衰减比={m['ratio']:.3f}  首峰={m['y1']:.3f}  次峰={m['y2']:.3f}")
    else:
        print(f"{name:28s} 未检出两个以上正峰，振荡被抑制或已发散")

脚本中 peaks 只统计高于 0.5 的局部极大值，避免把稳态附近的小波动误判为振荡峰；metrics 用前两个峰计算周期与衰减比，若不足两个峰则说明振荡已被压到无法测量，这本身就是“抑制振荡”的有效结论。

参数对振荡模态的作用关系

把四组参数的结果放在同一张关系图上，可以直观看到三条不同的作用路径：比例增益抬高振荡频率并放大首峰，积分增益在低频段引入相位滞后、降低衰减比，微分增益提供相位超前、显著提高衰减比。下图按“参数 → 闭环特征根位置 → 振荡频率/衰减比”的因果链组织，而不是罗列步骤。

结果判读与参数调整方向

按上述脚本运行后，四组参数会给出方向明确的对比（以下为按给定对象与步长可直接复现的预期趋势，具体数值以实际运行输出为准）：

判读时抓住两条独立线索：频率主要由比例增益和对象自然频率决定，Kp 增大使闭环等效刚度上升、fd 升高；衰减比主要由阻尼决定，Ki 使实部右移、衰减比趋近 1，Kd 使实部左移、衰减比趋近 0。当衰减比超过 0.75 时，优先增大 Kd；若同时存在稳态误差且不允许继续加 Kd，则减小 Ki 并适当回调 Kp，而不是继续堆比例增益。