3. PID参数两因子全因子DOE
两因子三水平全因子设计
本例在DCS温度回路中考察两个PID参数：比例增益 Kc（0.8 / 1.6 / 2.4）与积分时间 Ti（30 s / 60 s / 120 s），共 3×3=9 个组合。每个组合在相同的设定值阶跃（+5 ℃）下运行一次，记录 IAE 与超调量。全因子设计的价值在于：既能估计每个因子的主效应，也能估计 Kc×Ti 的交互效应——这是单因子试验无法给出的信息。
试验矩阵与随机化运行顺序
为避免漂移干扰，9 个组合按随机顺序执行。下表给出运行顺序、参数设置与示例记录（数据为教学示例，非实测）。
| 运行序 | Kc | Ti (s) | IAE (℃·s) | 超调量 (%) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.6 | 60 | 182 | 8.5 |
| 2 | 0.8 | 30 | 246 | 2.1 |
| 3 | 2.4 | 120 | 168 | 14.2 |
| 4 | 1.6 | 30 | 205 | 6.3 |
| 5 | 0.8 | 120 | 298 | 1.4 |
| 6 | 2.4 | 60 | 151 | 11.8 |
| 7 | 0.8 | 60 | 271 | 1.8 |
| 8 | 2.4 | 30 | 189 | 9.6 |
| 9 | 1.6 | 120 | 196 | 7.9 |
主效应与交互效应的读法
把 9 个组合按 Kc 与 Ti 排成 3×3 网格，可以直观看出：Kc 增大时 IAE 下降但超调上升；Ti 增大时 IAE 上升、超调下降。更关键的是，Kc 对超调的影响在 Ti=30 s 时比 Ti=120 s 时更陡——这就是交互效应。下图用网格热力与效应折线并列呈现这一结构。
效应计算与判读
以 IAE 为例，Kc 的主效应 = 该因子高水平均值 − 低水平均值：
Kc=0.8 均值: (246+271+298)/3 = 271.7
Kc=2.4 均值: (189+151+168)/3 = 169.3
Kc 主效应(IAE) = 169.3 - 271.7 = -102.4 → Kc 增大显著降低 IAE
Ti=30 均值: (246+205+189)/3 = 213.3
Ti=120 均值: (298+196+168)/3 = 220.7
Ti 主效应(IAE) = 220.7 - 213.3 = +7.4 → Ti 对 IAE 影响远小于 Kc超调量方面，Kc 主效应为 +9.6%（2.4 水平均值 11.9% 减 0.8 水平均值 1.8%），Ti 主效应为 −1.4%。但交互效应不可忽略：在 Ti=120 s 时，Kc 从 0.8 升到 2.4 使超调从 1.4% 升到 14.2%（+12.8%）；在 Ti=30 s 时仅从 2.1% 升到 9.6%（+7.5%）。因此不能单独说“Kc 增大超调增加 9.6%”，必须结合 Ti 水平。
组合优选与验证
若以 IAE 最小为目标，Kc=2.4、Ti=60 s 的 IAE=151 最低，但超调 11.8% 偏高；若要求超调 ≤8%，则 Kc=1.6、Ti=60 s（IAE=182，超调 8.5%）或 Kc=1.6、Ti=120 s（IAE=196，超调 7.9%）更合适。选定组合后，应在 DCS 中重复 2~3 次阶跃试验，确认 IAE 与超调落在示例值附近，并检查 OP 是否饱和、PV 是否受噪声干扰，再固化参数。