4. 助剂配方正交试验极差分析计算
极差分析的计算对象与判读逻辑
极差分析把每个因素在各水平上的试验结果先求均值，再用“最大水平均值 − 最小水平均值”得到该因素的极差 R。R 越大，说明该因素在所选水平范围内对指标的影响越强，因此按 R 降序即可排出因素主次；同时把每个因素均值最优的水平挑出来，就得到初步优水平组合。需要注意：极差分析只能给出“相对影响大小”和“初步优组合”，不能给出显著性结论，也不能保证该组合一定优于正交表中已做过的试验号。
下面用一个 3 因素 3 水平、9 次试验的 L9(3⁴) 安排作为教学示例。因素为 A（增塑剂份数）、B（稳定剂份数）、C（润滑剂份数），指标为断裂伸长率（%），数值越大越好。示例数据为假设值，仅用于演示计算路径。
| 试验号 | A | B | C | 空列 | 伸长率 y / % |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 182 |
| 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 196 |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 3 | 188 |
| 4 | 2 | 1 | 2 | 3 | 205 |
| 5 | 2 | 2 | 3 | 1 | 214 |
| 6 | 2 | 3 | 1 | 2 | 199 |
| 7 | 3 | 1 | 3 | 2 | 190 |
| 8 | 3 | 2 | 1 | 3 | 201 |
| 9 | 3 | 3 | 2 | 1 | 193 |
水平均值与极差的计算
每个因素每个水平出现 3 次，把该水平对应的 3 个结果相加除以 3 即得水平均值。以因素 A 为例：
- K₁ = 182 + 196 + 188 = 566，均值 k̄₁ = 188.67
- K₂ = 205 + 214 + 199 = 618，均值 k̄₂ = 206.00
- K₃ = 190 + 201 + 193 = 584，均值 k̄₃ = 194.67
- R_A = 206.00 − 188.67 = 17.33
同理可得 B、C 与空列的结果，汇总如下（均值保留两位小数）：
| 因素 | 水平1均值 | 水平2均值 | 水平3均值 | 极差 R | 主次排序 | 优水平 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A 增塑剂 | 188.67 | 206.00 | 194.67 | 17.33 | 1 | A2 |
| B 稳定剂 | 192.33 | 203.67 | 193.33 | 11.34 | 2 | B2 |
| C 润滑剂 | 194.00 | 198.00 | 197.33 | 4.00 | 3 | C2 |
| 空列（误差参照） | 196.33 | 195.00 | 198.00 | 3.00 | — | — |
因素主次与初步优水平组合
按极差降序：A（17.33）> B（11.34）> C（4.00），主次顺序为 A → B → C。指标为伸长率、越大越好，故各因素取均值最大的水平：A2、B2、C2，初步优水平组合为 A2B2C2。
该组合恰好对应试验号 5（A2B2C3 之外的组合需核对）：试验号 5 为 A2B2C3，实测 214%；而 A2B2C2 并未在正交表中出现，属于“未做过的组合”，其预测值可用各优水平均值之和减去总体均值估算：
总体均值 ȳ = (182+196+188+205+214+199+190+201+193) / 9 = 196.44
预测值 ŷ = k̄(A2) + k̄(B2) + k̄(C2) − 2·ȳ
= 206.00 + 203.67 + 198.00 − 2×196.44
= 214.79 %该预测值只是加性模型下的估计，未考虑交互作用，必须通过验证试验确认，不能直接当作结论使用。
计算中的易错点与结果判读
- 均值分母用水平重复次数：L9 中每个水平出现 3 次，分母是 3 而不是 9；若各水平重复次数不等（如混合水平表），必须按各自实际次数求均值，否则极差不可比。
- 极差是均值之差，不是原始数据之差：直接用同水平内最大值减最小值会得到完全不同的量，失去“水平效应”的含义。
- 优水平方向由指标性质决定：伸长率越大越好取最大均值；若指标是磨耗量、收缩率等越小越好，则取最小均值，主次排序仍按 R 降序不变。
- 空列极差是噪声参照：某因素 R 与空列 R 接近时，应谨慎判定其影响，留待方差分析给出显著性结论。
- 优组合不等于最优试验号：正交表中已做试验的最优号（本例为 5 号，214%）与均值推出的优组合（A2B2C2）可能不同，二者需通过验证试验比较。
可直接套用的极差分析计算表
把上表结构做成空白计算表，换成本例数据即可复用。填写顺序：先按试验号把 y 填入对应水平格，再逐列求和、求均值、求极差。
| 项目 | A | B | C | 空列 |
|---|---|---|---|---|
| K1（水平1结果和） | 566 | 577 | 582 | 589 |
| K2（水平2结果和） | 618 | 611 | 594 | 585 |
| K3（水平3结果和） | 584 | 580 | 592 | 594 |
| k̄1 = K1/3 | 188.67 | 192.33 | 194.00 | 196.33 |
| k̄2 = K2/3 | 206.00 | 203.67 | 198.00 | 195.00 |
| k̄3 = K3/3 | 194.67 | 193.33 | 197.33 | 198.00 |
| R = max k̄ − min k̄ | 17.33 | 11.34 | 4.00 | 3.00 |
| 优水平（越大越好） | A2 | B2 | C2 | — |
核对技巧：同一因素各 K 之和应等于全部 9 个结果之和（本例 1768），若不等说明有数据抄错或漏项；各因素 K 总和相等也是录入无误的快速自检。