3. PC/ABS阻燃配方三因素两水平全因子交互效应解析
案例任务与实验对象
本案例针对 PC/ABS 阻燃合金体系，选取三个配方因素各取两水平，完成 2³ 全因子实验（8 个角点），并补充 2 个中心点用于检验曲率与纯误差。目标不是单纯找“阻燃最好”的配方，而是通过交互作用图与 Pareto 图，判断阻燃效率（以 UL-94 垂直燃烧等级与续燃时间 t₁+t₂ 表征）与冲击性能（以 23 ℃ 悬臂梁缺口冲击强度表征）之间的权衡关系，识别哪些交互项在同时影响这两个响应。
因素与水平编码如下（编码 −1/+1，中心点取 0）：
| 因素 | 符号 | 低水平 −1 | 中心 0 | 高水平 +1 |
|---|---|---|---|---|
| 阻燃剂（溴化环氧 + Sb₂O₃ 复配） | A | 12 phr | 16 phr | 20 phr |
| 抗滴落剂（PTFE 包覆型） | B | 0.2 phr | 0.4 phr | 0.6 phr |
| 增容剂（SAN-g-MAH） | C | 2 phr | 4 phr | 6 phr |
固定条件：PC/ABS 质量比 70/30，挤出温度 240–255 ℃，注塑后样条按 UL-94 与 ISO 180 制样。响应为 Y₁ = 续燃时间 t₁+t₂（s，越小越好）、Y₂ = 缺口冲击强度（kJ/m²，越大越好）。
2³ 全因子实验矩阵与示例数据
下表为教学示例数据（假设值，用于演示解析方法，非实测结果）。每个角点单次试验，中心点重复 2 次以估计纯误差。
| 试验号 | A | B | C | Y₁ 续燃时间/s | Y₂ 冲击/(kJ/m²) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −1 | −1 | −1 | 18.6 | 42.5 |
| 2 | +1 | −1 | −1 | 9.4 | 36.8 |
| 3 | −1 | +1 | −1 | 14.2 | 40.1 |
| 4 | +1 | +1 | −1 | 5.1 | 34.6 |
| 5 | −1 | −1 | +1 | 16.9 | 46.3 |
| 6 | +1 | −1 | +1 | 8.2 | 40.7 |
| 7 | −1 | +1 | +1 | 12.8 | 44.0 |
| 8 | +1 | +1 | +1 | 4.3 | 38.2 |
| 9 | 0 | 0 | 0 | 10.1 | 41.9 |
| 10 | 0 | 0 | 0 | 10.6 | 42.4 |
效应计算：主效应与交互效应
对 2³ 设计，任一效应的估计值为“该效应列取 +1 的响应均值减去取 −1 的响应均值”。以 Y₁ 为例：
# 教学示例：效应计算（Python，可直接运行）
import numpy as np
import itertools
# 角点设计矩阵（A,B,C 编码）
design = np.array(list(itertools.product([-1, 1], repeat=3)))
y1 = np.array([18.6, 9.4, 14.2, 5.1, 16.9, 8.2, 12.8, 4.3]) # 续燃时间
y2 = np.array([42.5, 36.8, 40.1, 34.6, 46.3, 40.7, 44.0, 38.2]) # 冲击强度
def effects(X, y):
out = {}
for name, col in [("A", X[:,0]), ("B", X[:,1]), ("C", X[:,2]),
("AB", X[:,0]*X[:,1]), ("AC", X[:,0]*X[:,2]),
("BC", X[:,1]*X[:,2]), ("ABC", X[:,0]*X[:,1]*X[:,2])]:
out[name] = (y[col == 1].mean() - y[col == -1].mean())
return out
e1 = effects(design, y1)
e2 = effects(design, y2)
for k in e1:
print(f"{k:>3} Y1效应={e1[k]:+6.2f} s Y2效应={e2[k]:+6.2f} kJ/m²")
按上表数据计算得到的效应（示例值）为：
| 效应 | Y₁ 续燃时间/s | Y₂ 冲击/(kJ/m²) | 解读 |
|---|---|---|---|
| A（阻燃剂） | −9.30 | −5.55 | 强降续燃、同时明显降冲击 |
| B（抗滴落剂） | −4.35 | −2.35 | 降续燃、轻微降冲击 |
| C（增容剂） | −1.70 | +3.85 | 略降续燃、显著提冲击 |
| AB | −0.05 | −0.05 | 几乎无交互 |
| AC | −0.55 | −0.35 | 弱交互 |
| BC | −0.35 | −0.15 | 弱交互 |
| ABC | +0.15 | +0.05 | 可忽略 |
关键结论：A 与 B 对两个响应方向一致（都降续燃、都降冲击），属于“效率—韧性”直接冲突项；C 是唯一“降续燃同时提冲击”的因素，是缓解权衡的关键杠杆。三阶交互 ABC 与 AB 交互均很小，说明在本实验窗口内，阻燃剂与抗滴落剂之间没有明显的协同或拮抗，权衡主要由主效应叠加决定。
交互作用图与 Pareto 图的判读
下图左侧为 A×C 交互作用图（Y₂ 冲击强度）：两条线近似平行，说明 A 对冲击的负效应在不同 C 水平下幅度接近，C 主要提供整体上移而非改变斜率；右侧为标准化效应的 Pareto 排序，用中心点纯误差估计的合并标准差 s 计算 t 值，参考线取 t₀.₀₅,₂ ≈ 4.30（2 自由度，双侧）。
判读要点：
- Pareto 图：A 与 B 的标准化效应远超参考线，是续燃时间的主导因素；C 接近但未越过参考线，说明在本窗口内增容剂对阻燃的直接贡献有限，其主要价值体现在冲击响应上。
- 交互作用图：A×C 两线近似平行，斜率差小，与表中 AC 效应（Y₂ 仅 −0.35）一致；若两线明显交叉，则意味着“增容剂用量应随阻燃剂水平调整”，本实验未出现该现象。
- 权衡判断：A 每提高一个编码单位，续燃时间降约 9.3 s，但冲击降约 5.6 kJ/m²；C 每提高一个编码单位，冲击升约 3.9 kJ/m² 而续燃仅降 1.7 s。因此“高 A + 高 C”组合（试验 6：A+1, B−1, C+1）在保持 8.2 s 续燃的同时把冲击维持在 40.7 kJ/m²，是兼顾两响应的候选方向。
中心点曲率检验与模型简化
中心点均值：Y₁ = 10.35 s，Y₂ = 42.15 kJ/m²；纯误差标准差由两点极差估计。将中心点均值与角点预测值比较可检验曲率：若曲率显著，说明两水平窗口内响应已呈非线性，需引入平方项或改用响应面设计；若不显著，则线性 + 交互模型足够。本例中 Y₂ 的中心点均值高于角点模型预测（约 40.9），提示存在轻微正向曲率，但样本量小，仅作为后续响应面设计的信号，不据此下强结论。
模型简化原则：先剔除 ABC、AB 等 |t| 很小的项，保留 A、B、C 主效应及边缘项 AC，再复核残差。简化后对 Y₁ 的编码回归形式（示例）为：
Y1 ≈ 11.19 − 4.65·A − 2.18·B − 0.85·C − 0.28·A·C # 系数 = 效应/2
Y2 ≈ 40.40 − 2.78·A − 1.18·B + 1.93·C − 0.18·A·C
系数为效应对应值的一半，可直接用于预测新组合。例如 A=+1、B=+1、C=+1 时，Y₁ 预测约 4.3 s、Y₂ 预测约 38.2 kJ/m²，与试验 8 吻合，说明模型在该角点自洽。
工程判断与后续动作
下一步建议：固定 B 在 0.4–0.6 phr 区间以兼顾抗滴落与冲击，对 A 与 C 增加中心复合设计的轴点，建立二次模型，用等高线图寻找“续燃 ≤ 10 s 且冲击 ≥ 40 kJ/m²”的可行配比窗口。