2. 玻纤增强PA6配方两因素全因子设计与主效应分析

为什么选 2² 全因子 + 中心点

玻纤增强 PA6 的拉伸强度同时受玻纤含量与相容剂（如马来酸酐接枝 POE/SEBS）用量影响，且两者很可能存在交互：玻纤越多，界面越需要相容剂“搭桥”，单看主效应容易误判。2² 全因子用 4 个角点估计两个主效应与一个交互效应，再补 3 个中心点检验弯曲（非线性）并给出纯误差估计，从而让方差分析有可靠的分母。

本例取因素与水平（编码 −1 / +1）：

• 因素 A：玻纤质量分数，低水平 20%，高水平 30%，中心 25%。
• 因素 B：相容剂质量分数，低水平 0.5%，高水平 1.5%，中心 1.0%。
• 响应 y：拉伸强度（MPa），每配方测 2 个试样取均值参与建模（重复用于估计误差）。

实验矩阵与示例数据

下表为教学示例数据（假设值，用于演示计算路径，非实测）。标准序运行、每点 2 次重复：

效应计算：主效应与交互效应

用角点均值（每格 2 次重复共 8 个观测）计算效应，效应 = 高水平均值 − 低水平均值：

角点均值：
y(-1,-1)=120.0   y(+1,-1)=143.0
y(-1,+1)=128.0   y(+1,+1)=165.0

主效应 A（玻纤）：
  A = [y(+1,-1)+y(+1,+1)]/2 - [y(-1,-1)+y(-1,+1)]/2
    = (143+165)/2 - (120+128)/2 = 154 - 124 = +30.0 MPa

主效应 B（相容剂）：
  B = [y(-1,+1)+y(+1,+1)]/2 - [y(-1,-1)+y(+1,-1)]/2
    = (128+165)/2 - (120+143)/2 = 146.5 - 131.5 = +15.0 MPa

交互效应 AB：
  AB = [y(+1,+1)-y(+1,-1)-y(-1,+1)+y(-1,-1)]/2
     = (165-143-128+120)/2 = 14/2 = +7.0 MPa

AB 为正且不可忽略：高玻纤时增加相容剂带来的增益（165−143=22 MPa）明显大于低玻纤时的增益（128−120=8 MPa），说明界面偶联在高填充下更关键。

方差分析（ANOVA）与显著性判断

用 7 个配方 × 2 次重复共 14 个观测做全模型（A、B、AB）加弯曲项检验。纯误差由重复与中心点提供：

重复内平方和（纯误差）：
  角点 4 格，每格 2 次，格内差均为 ±2 → SS_pe_角点 = 4×(2²/2)=8
  中心点 3 个均值 148,146,149，SS = 6.0
  SS_pe = 8 + 6 = 14，df_pe = 4 + 2 = 6，MS_pe = 2.333

效应平方和（每效应 1 df，n=8 角点观测）：
  SS_A  = 8×30²/4 = 1800
  SS_B  = 8×15²/4 = 450
  SS_AB = 8×7²/4  = 98
  SS_弯曲 = 由中心点与角点预测差计算 ≈ 8×8.7²/... ≈ 75.7（1 df）

F 检验（MS_pe = 2.333）：
  F_A  = 1800/2.333 ≈ 771.4  → 极显著
  F_B  = 450/2.333  ≈ 192.9  → 极显著
  F_AB = 98/2.333   ≈ 42.0   → 显著
  F_弯曲 = 75.7/2.333 ≈ 32.4 → 显著（提示存在弯曲，需补轴点）

最优组合方向

由于 AB 为正交互，提升拉伸强度的方向是同时提高玻纤与相容剂，且高玻纤段对相容剂更敏感。按效应符号，最优方向指向 (+1,+1) 角点，即玻纤 30%、相容剂 1.5%，示例均值 165 MPa。但弯曲显著提示真实响应在中心附近已偏离平面，直接外推到角点之外有风险，应把 (+1,+1) 作为下一轮响应面设计的搜索起点，而不是最终配方。

可执行检查清单

• 因素水平是否按编码 −1/0/+1 记录，原始单位与编码单位分开存档。
• 角点是否随机化运行，避免批次/机台漂移混入主效应。
• 每配方至少 2 次重复，中心点不少于 3 个，保证纯误差自由度 ≥ 5。
• 先看交互作用图是否平行，再看 ANOVA 的 F 值与 p 值，最后看弯曲项。
• 弯曲显著时不直接定配方，转入响应面（加轴点）或缩小因素区间。