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自由曲面微分几何与数值曲面建模

📚 共计 30 章节

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曲面设计概述

自由曲面的定义、应用领域（汽车、航空、消费品）、数学描述的基本概念。

参数曲线基础

参数化表示、切向量与法向量、曲线的曲率与挠率。

微分几何曲线

Bezier曲线的定义与性质、de Casteljau算法、Bezier曲线的拼接。

B样条基函数的定义与性质、节点向量、B样条曲线的分类（均匀、准均匀、非均匀）。

NURBS曲线的定义、权因子的作用、NURBS与Bezier、B样条的关系。

曲线插值与逼近

拉格朗日插值、Hermite插值、最小二乘逼近。

参数曲面基础

张量积曲面、曲面的参数化、等参线、曲面上的切平面与法向量。

曲面参数化

Bezier曲面的定义与性质、张量积Bezier曲面、Bezier曲面的分割。

Bezier张量积

B样条曲面的定义、节点向量与曲面形状、B样条曲面的局部修改。

NURBS曲面的定义、权因子对曲面形状的影响、NURBS曲面的标准形式。

曲面插值与逼近

Coons曲面、Bilinear插值、Bicubic插值、散乱数据插值。

曲面连续性

参数连续性（C0、C1、C2）、几何连续性（G0、G1、G2）、曲率连续性。

连续性几何

曲面拼接与过渡

曲面间的G1/G2连续拼接、圆角与过渡曲面、多面片拼接技术。

曲面光顺性

光顺性定义与评价指标、能量法光顺、最小二乘光顺。

从点云数据重构曲面、逆向工程中的曲面重建、基于特征的重构。

Catmull-Clark细分、Loop细分、细分曲面的极限曲面性质。

T样条与局部细化

T样条的定义、T节点与局部细化、T样条在CAD中的应用。

等几何分析

等几何分析的基本思想、NURBS作为形函数、与有限元方法的对比。

曲面-曲面求交算法、Marching方法、追踪法、奇异情况处理。

曲面裁剪与修整

裁剪曲面的数学表示、裁剪曲线的参数化、裁剪曲面在CAD中的实现。

曲面展开与展平

可展曲面与不可展曲面、等距映射、最小变形展开方法。

曲面上的曲线设计

测地线、曲面上曲线的曲率、曲面上的曲线插值。

测地线曲线

曲面变形与编辑

自由变形（FFD）、基于约束的曲面编辑、能量最小化变形。

曲面参数化

平面参数化、球面参数化、保角映射、面积保持映射。

参数化保角

曲面网格生成

三角网格与四边形网格、网格质量评价、Delaunay三角化。

曲面简化与LOD

网格简化算法（边折叠、顶点聚类）、层次细节模型（LOD）。

曲面纹理映射

纹理坐标生成、纹理映射的数学原理、Mipmap与各向异性过滤。

曲面上的微分几何

第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率与平均曲率。

微分几何曲率

曲面上的数值方法

有限差分法、有限元法在曲面上的应用、曲面上的偏微分方程求解。

自由曲面设计前沿

生成式设计、AI辅助曲面设计、实时交互式曲面建模、数字孪生中的曲面技术。