3. 几何光学基础（二）：透镜成像公式

好，我们接着往下聊。上一章我们把几何光学的几个基本定律过了一遍，今天要进入真正干活的部分了——透镜成像公式。

说实话，我刚入行那会儿，觉得这些公式不就是初中物理嘛，没什么大不了的。直到我第一次设计投影镜头，发现怎么算像面位置都不对，才老老实实回来重新啃这些基础。嗯，基础不牢，后面真的会摔得很惨。

3.1 高斯公式：最常用的成像工具

先看最经典的高斯公式：

1/f = 1/v - 1/u

其中：

• f：透镜焦距（像方焦距）
• v：像距（像到透镜的距离）
• u：物距（物到透镜的距离）

这里有个符号约定，我建议你一开始就记牢：实物实像为正，虚物虚像为负。具体来说：

• 实物在透镜左侧，u 为负（这是新笛卡尔符号规则）
• 实像在透镜右侧，v 为正
• 凸透镜焦距 f 为正，凹透镜 f 为负

举个例子：一个凸透镜焦距 100mm，物体放在透镜左侧 200mm 处。那么：

1/100 = 1/v - 1/(-200)
1/100 = 1/v + 1/200
1/v = 1/100 - 1/200 = 1/200
v = 200mm

像在透镜右侧 200mm 处，是个实像。这个结果很直观——物距是焦距的两倍，像距也是焦距的两倍，物像等大。

3.2 牛顿公式：另一种视角

高斯公式好用，但有时候用牛顿公式更方便。它把物距和像距的参考点从透镜中心改成了焦点：

x * x' = f * f'

其中：

• x：物到物方焦点的距离
• x'：像到像方焦点的距离
• f：物方焦距
• f'：像方焦距（通常 f = f'，如果透镜两边介质相同）

符号规则也类似：实物在焦点左侧，x 为负；实像在焦点右侧，x' 为正。

我个人习惯在物距很大或很小的时候用牛顿公式。比如物距接近无穷远时，x 很大，x' 就很小，计算起来比高斯公式更直观。

3.3 焦距与光焦度

焦距决定了透镜的聚光能力。焦距越短，光线偏折越厉害。但光学设计里更常用的是光焦度：

Φ = 1/f

单位是屈光度（D），1D = 1/m。比如焦距 100mm 的透镜，光焦度就是 10D。

为什么要用光焦度？因为多个透镜组合时，总光焦度可以直接相加（薄透镜近似下）：

Φ_total = Φ_1 + Φ_2 + Φ_3 + ...

这在投影镜头设计中太有用了。我记得第一次设计三片式镜头时，就是先定总光焦度，再分配到每片透镜上，然后优化曲率半径。比直接调焦距方便多了。

参数	符号	单位	说明
焦距	f	mm	透镜到焦点的距离
光焦度	Φ	D (1/m)	聚光能力，Φ = 1/f
屈光度	D	m⁻¹	1D = 1/m

3.4 放大率与横向放大率

投影镜头最关心的就是放大率。横向放大率（也叫垂轴放大率）定义为：

β = y' / y = v / u

其中：

• y：物体高度
• y'：像的高度
• v：像距
• u：物距

β 的正负表示像的方向：

• β > 0：正立像
• β < 0：倒立像
• |β| > 1：放大
• |β| < 1：缩小

在投影系统中，我们通常需要放大（|β| > 1），而且像必须是倒立的（β < 0）。你想想看，投影仪里的 DMD 芯片图像是倒着放的，投出来才是正的。

3.5 像与物的共轭关系

最后说说共轭关系。说白了就是：物和像是一一对应的。给定一个物点，通过透镜只能成一个像点；反过来，这个像点也只能对应那个物点。

这种关系在光学设计里意味着：

• 物距变了，像距必须跟着变，才能成清晰的像
• 放大率变了，物像位置关系也变了
• 一个透镜系统只有一个共轭面（对固定的物距和像距）

我记得有一次调试投影镜头，发现画面边缘模糊。查了半天，原来是共轭关系没对准——物面（DMD 芯片）和像面（屏幕）不在正确的共轭位置上。调整了 0.5mm 的间距，画面就清晰了。嗯，有时候就是这么一点点差距。

3.6 知识体系总览

这一章的内容比较多，我画了一张图帮你理清思路：

这张图把本章的核心内容串起来了。从透镜成像公式出发，高斯公式和牛顿公式是两种计算工具，焦距与光焦度是透镜的固有属性，放大率是系统的输出指标，共轭关系是物像之间的内在联系。五者缺一不可。