4. 单个折射球面的成像：物像位置公式、垂轴放大率、轴向放大率、角放大率

好，我们进入近轴光学最核心的一章。单个折射球面，是所有光学系统的基础。你想想看，不管是几十片镜头的复杂系统，还是简单的单片透镜，追根溯源，光线的折射行为都发生在一个个球面上。

这一节，我们就彻底搞懂这个“基本单元”。我会把三个放大率放在一起讲，因为它们本质上是从不同维度描述同一个成像过程。

4.1 物像位置公式：从追光线到算位置

先看一个折射球面。曲率半径为 r，球心在 C 点。物点 A 在光轴上，发出光线射到球面顶点 O，折射后交光轴于 A'。

在近轴条件下，我们有一个非常简洁的关系：

n' / l' - n / l = (n' - n) / r

其中：

• l：物距（从球面顶点到物点，光线从左到右为正）
• l'：像距（从球面顶点到像点）
• n：物方折射率
• n'：像方折射率
• r：球面曲率半径（球心在右为正）

我个人习惯把这个公式叫做“折射球面的基本方程”。它把物距、像距、折射率和曲率半径联系在了一起。只要知道其中三个，就能求出第四个。

4.2 垂轴放大率 β：像到底放大了多少？

垂轴放大率，也叫横向放大率。它描述的是像的高度和物的高度之比。

β = y' / y = (n * l') / (n' * l)

这里 y 是物高，y' 是像高。

β 的正负号很关键：

• β > 0：正立像（物和像在光轴同侧）
• β < 0：倒立像（物和像在光轴异侧）
• |β| > 1：放大
• |β| < 1：缩小

4.3 轴向放大率 α：沿着光轴方向的变化

轴向放大率描述的是，当物点沿光轴移动一个微小距离时，像点移动的距离与物点移动距离之比。

α = dl' / dl = (n' / n) * β²

这个公式很有意思。它告诉我们：

• 轴向放大率 总是正的。物点向右移动，像点也向右移动。
• α 与 β² 成正比。如果系统有垂轴放大，轴向放大会被“平方放大”。

我曾经在一个共焦扫描系统中吃过这个亏。当时以为轴向放大率可以直接用，结果像面偏移量算错了，导致扫描深度不对。后来老老实实重新用基本公式算了一遍，才找到问题。

4.4 角放大率 γ：光线角度的变化

角放大率描述的是像方孔径角与物方孔径角之比。

γ = u' / u = (n * l) / (n' * l') = 1 / β

这里 u 和 u' 分别是物方和像方的近轴光线与光轴的夹角。

注意这个关系：γ = 1 / β。这意味着：

• 如果系统放大像（|β| > 1），那么像方光线角度会变小（|γ| < 1）。
• 如果系统缩小像（|β| < 1），那么像方光线角度会变大（|γ| > 1）。

这其实符合能量守恒的直觉——像变大了，光线就“散开”了；像变小了，光线就“汇聚”了。

4.5 三个放大率的关系：拉格朗日-亥姆霍兹不变量

这三个放大率不是孤立的。它们通过一个非常重要的量联系在一起：

n * y * u = n' * y' * u' = 常数

这个常数叫做拉格朗日-亥姆霍兹不变量，简称 L-H 不变量。

它告诉我们：在理想光学系统中，折射率、物高和孔径角的乘积，在物方和像方是守恒的。这是光学系统设计的“能量守恒定律”。

放大率	符号	公式	物理意义
垂轴放大率	β	β = y'/y = n·l'/(n'·l)	像高与物高之比
轴向放大率	α	α = dl'/dl = (n'/n)·β²	像移与物移之比（微小位移）
角放大率	γ	γ = u'/u = 1/β	像方孔径角与物方孔径角之比

4.6 知识体系：单个折射球面成像

下面这张图把单个折射球面成像的知识结构梳理清楚了。你可以把它当作一个“思维导图”来用。

4.7 实战中的避坑指南

最后，分享几个我在项目中踩过的坑：

• 符号约定要统一。我见过太多人因为符号搞混，算出来的像距方向反了。建议全程使用“光线从左到右为正”的约定。
• β 的正负不要只看绝对值。倒立像和正立像在系统设计中是完全不同的布局。
• 轴向放大率只适用于微分位移。别像我一样，直接拿它算大范围移动。
• L-H 不变量是检查计算的好工具。算完三个放大率后，用 α·γ = β 验证一下，能发现大部分低级错误。

嗯，这一节的内容就到这里。单个折射球面虽然简单，但它是整个几何光学的基石。把这几个公式和概念吃透了，后面学透镜系统、组合系统就会轻松很多。