3. 符号规则与光线追迹：国际符号规则、光线追迹的基本流程、近轴光线追迹公式

好，我们进入第三讲。前两讲我们把近轴光学的核心概念——光轴、近轴区、理想像——都聊透了。但光有概念不行，你得能算。怎么算？第一步，就是给光线和光学系统定一套统一的“语言”。

这套语言，就是符号规则。没有它，你算出来的东西别人看不懂，甚至你自己换个方向就算错了。我当年刚入行时，就因为符号搞反，一个简单的双胶合透镜设计，愣是折腾了两天没对上焦。后来发现，就是符号规则没统一。

3.1 国际符号规则：给光线一个坐标系

说白了，符号规则就是给光线在空间中的位置和方向定个正负号。国际上最通用的，是笛卡尔符号规则。它的核心就一句话：光线从左向右传播。

具体怎么定？我习惯这样记：

• 光轴方向：光线传播方向为正。通常我们设光轴为 Z 轴，从左到右为正。
• 垂直方向：光轴以上为正，光轴以下为负。这对应 Y 轴。
• 角度：从光轴（或法线）转向光线，逆时针为正，顺时针为负。这个容易搞混，你想想看，逆时针是数学上的正方向。
• 曲率半径：球面的曲率中心在顶点右侧时，曲率半径为正；在左侧时为负。
• 距离：沿光轴方向，从参考点（比如顶点、物点）到下一个参考点，顺光线方向为正，逆光线方向为负。

为了让你一眼看明白，我画了张图。这张图把符号规则的核心要素都标出来了，你对照着看，会清晰很多。

3.2 光线追迹的基本流程：从物到像的“行军路线”

有了符号规则，我们就可以开始追迹光线了。光线追迹，说白了就是模拟一条光线从物点出发，经过一个个光学面，最终到达像点的过程。

基本流程是这样的：

1. 定义初始光线：确定光线的起始点坐标（物点位置）和方向（孔径角或视场角）。
2. 计算与第一个面的交点：光线从当前位置传播，直到碰到第一个光学面（透镜表面）。求出交点的坐标。
3. 计算入射角：在交点处，作该表面的法线。计算光线与法线的夹角，即入射角。
4. 应用折射定律（斯涅尔定律）：根据入射角和两侧介质的折射率，计算出折射角。
5. 确定出射光线：以新的方向和交点作为起点，得到出射光线。
6. 重复步骤2-5：将出射光线作为下一面的入射光线，继续追迹，直到光线穿过所有光学面。
7. 到达像面：最后一条出射光线与像面的交点，就是这条光线的像点位置。

这个流程，我用一张流程图帮你梳理一下。你跟着箭头走一遍，就能理解整个逻辑链条。

3.3 近轴光线追迹公式：把复杂问题简单化

上面说的是一般光线的追迹流程，计算量很大，涉及三角函数。但在近轴区，我们有个大杀器——近轴近似。

还记得第二讲说的吗？近轴区内，角度很小，所以 sin θ ≈ θ，tan θ ≈ θ，cos θ ≈ 1。这个近似，把复杂的三角函数计算，变成了简单的线性代数运算。

近轴光线追迹的核心公式，其实就两个：

3.3.1 传递公式（Transfer Formula）

光线从一个面传播到下一个面，它的高度会变化。公式很简单：

y₂ = y₁ + d * u₁'

其中：

• y₁：光线在当前面上的高度
• u₁'：光线离开当前面后的孔径角（近轴角，单位是弧度）
• d：当前面到下一个面的轴向距离（注意符号！顺光线为正）
• y₂：光线在下一个面上的高度

3.3.2 折射公式（Refraction Formula）

光线经过一个球面折射，它的角度会改变。公式是：

n' * u' - n * u = - (n' - n) * y / R

或者写成更常用的形式：

n' * u' = n * u - (n' - n) * y / R

其中：

• n, n'：分别为入射介质和出射介质的折射率
• u, u'：分别为入射角和出射角（近轴角）
• y：光线在球面顶点处的高度
• R：球面的曲率半径（带符号！）

3.3.3 完整的追迹流程（近轴版）

把传递和折射结合起来，就是近轴光线追迹的完整流程。我习惯用一个表格来记录每一步的计算结果，这样非常清晰。

步骤	操作	输入	公式	输出
1	初始化	物点 y₀, 孔径角 u₀	—	初始光线参数
2	传递到第1面	y₀, u₀, 距离 d₀	y₁ = y₀ + d₀ * u₀	第1面高度 y₁
3	在第1面折射	y₁, u₀, n₀, n₁, R₁	n₁*u₁ = n₀*u₀ - (n₁-n₀)*y₁/R₁	出射角 u₁
4	传递到第2面	y₁, u₁, 距离 d₁	y₂ = y₁ + d₁ * u₁	第2面高度 y₂
5	在第2面折射	y₂, u₁, n₁, n₂, R₂	n₂*u₂ = n₁*u₁ - (n₂-n₁)*y₂/R₂	出射角 u₂
...	...	...	...	...
N	传递到像面	y_last, u_last, d_last	y_img = y_last + d_last * u_last	像点高度 y_img

你看，整个过程就是反复套用这两个公式。没有三角函数，没有复杂运算。这就是近轴光学的魅力——用最简单的数学，描述最核心的光学行为。

3.4 一个完整的计算示例

光说不练假把式。我们来看一个具体的例子。

系统参数：

• 一个单透镜，折射率 n = 1.5
• 第一面曲率半径 R₁ = +100 mm（凸面朝左）
• 第二面曲率半径 R₂ = -100 mm（凸面朝右）
• 透镜厚度 d = 10 mm
• 物在透镜前 200 mm 处，物高 y₀ = 10 mm
• 初始孔径角 u₀ = 0（轴上物点发出的平行光？不，这里是有限远物点，我们取一条从物点出发到第一面顶点的光线，其角度 u₀ = y₀ / (-200) = -0.05 rad）

追迹过程：

步骤1：初始化
  y₀ = 10 mm, u₀ = -0.05 rad, n₀ = 1.0 (空气)

步骤2：传递到第一面
  d₀ = 200 mm (物到第一面)
  y₁ = y₀ + d₀ * u₀ = 10 + 200 * (-0.05) = 10 - 10 = 0 mm
  （嗯，这条光线刚好打到第一面的顶点上，简化计算）

步骤3：在第一面折射
  n₁ = 1.5, R₁ = +100 mm
  n₁ * u₁ = n₀ * u₀ - (n₁ - n₀) * y₁ / R₁
  1.5 * u₁ = 1.0 * (-0.05) - (1.5 - 1.0) * 0 / 100
  1.5 * u₁ = -0.05
  u₁ = -0.03333 rad

步骤4：传递到第二面
  d₁ = 10 mm (透镜厚度)
  y₂ = y₁ + d₁ * u₁ = 0 + 10 * (-0.03333) = -0.3333 mm

步骤5：在第二面折射
  n₂ = 1.0 (空气), R₂ = -100 mm
  n₂ * u₂ = n₁ * u₁ - (n₂ - n₁) * y₂ / R₂
  1.0 * u₂ = 1.5 * (-0.03333) - (1.0 - 1.5) * (-0.3333) / (-100)
  u₂ = -0.05 - ( -0.5 * -0.3333 / -100 )
  u₂ = -0.05 - (0.16665 / -100)
  u₂ = -0.05 - (-0.0016665)
  u₂ = -0.04833 rad

步骤6：传递到像面（假设像面在透镜后某处，我们需要求像距）
  设像距为 d₂，像点高度 y_img = 0（轴上点）
  y_img = y₂ + d₂ * u₂ = 0
  -0.3333 + d₂ * (-0.04833) = 0
  d₂ = -0.3333 / -0.04833 ≈ 6.896 mm
  像在透镜后约 6.9 mm 处。