4. MZI传输函数推导：基于两臂相位差的MZI输出光强表达式、干涉条纹对比度、自由光谱范围（FSR）

马赫-曾德尔干涉仪（MZI）的核心工作原理是将输入光分束至两条不等长或不等折射率的光波导臂，通过两臂累积的相位差产生干涉，从而将相位信息转换为强度信息。本节将系统推导MZI的传输函数，并定义干涉条纹对比度与自由光谱范围两个关键性能指标。

4.1 理想MZI的传输函数推导

考虑一个由两个3 dB定向耦合器（分光比50:50）和两条波导臂构成的理想MZI。设输入光场为 \(E_{in}\)，经第一个耦合器后，两臂光场分别为：

E_1 = E_in / sqrt(2)
E_2 = E_in / sqrt(2) * exp(j * phi)

其中 \(\phi\) 为两臂之间的相位差，由波导长度差 \(\Delta L\) 和有效折射率 \(n_{eff}\) 共同决定：

phi = (2 * pi / lambda) * n_eff * Delta_L

经第二个耦合器合束后，输出端光场为两臂光场的叠加。对于交叉输出端（Cross Port）和直通输出端（Bar Port），其光强表达式分别为：

I_cross = I_in * sin^2(phi / 2)
I_bar   = I_in * cos^2(phi / 2)

其中 \(I_{in} = |E_{in}|^2\) 为输入光强。两输出端光强之和恒等于 \(I_{in}\)，满足能量守恒。

4.2 干涉条纹对比度（Visibility）

干涉条纹对比度（也称可见度）衡量输出光强随相位变化时，明暗条纹的清晰程度。其定义为：

V = (I_max - I_min) / (I_max + I_min)

对于理想MZI，\(I_{max} = I_{in}\)，\(I_{min} = 0\)，因此 \(V = 1\)。但在实际器件中，由于以下因素，对比度会下降：

• 分光比不平衡： 两个耦合器的分光比偏离50:50，导致两臂光振幅不相等。
• 传输损耗差异： 两臂波导的传播损耗不同，使合束时光强不匹配。
• 偏振态失配： 两臂中光的偏振态不一致，降低干涉效率。
• 光源相干性不足： 光源的相干长度小于两臂光程差，部分相干光干涉。

4.3 自由光谱范围（FSR）

自由光谱范围（Free Spectral Range, FSR）定义为MZI传输函数中，相邻两个干涉极大（或极小）之间的波长间隔或频率间隔。它是MZI作为滤波器或传感器时的关键性能参数。

由相位差表达式 \(\phi = \frac{2\pi}{\lambda} n_{eff} \Delta L\)，当相位差变化 \(2\pi\) 时，对应波长变化 \(\Delta \lambda\) 即为FSR：

FSR_lambda = lambda^2 / (n_g * Delta_L)

其中 \(n_g = n_{eff} - \lambda \frac{d n_{eff}}{d \lambda}\) 为群折射率，考虑了波导的色散效应。若忽略色散（即 \(n_g \approx n_{eff}\)），则：

FSR_lambda ≈ lambda^2 / (n_eff * Delta_L)

在频率域中，FSR表示为：

FSR_nu = c / (n_g * Delta_L)

其中 \(c\) 为真空光速。

4.4 传输函数总结与Python验证

以下Python代码演示了理想MZI传输函数的计算与可视化，可验证上述推导的正确性：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
lambda_0 = 1550e-9  # 中心波长 (m)
n_eff = 2.4         # 有效折射率
Delta_L = 100e-6    # 臂长差 (m)

# 波长扫描范围
lambda_range = np.linspace(1540e-9, 1560e-9, 1000)

# 计算相位差
phi = 2 * np.pi * n_eff * Delta_L / lambda_range

# 计算输出光强
I_bar = np.cos(phi / 2)**2
I_cross = np.sin(phi / 2)**2

# 计算FSR (波长域)
FSR = lambda_0**2 / (n_eff * Delta_L)
print(f"FSR = {FSR*1e9:.2f} nm")

# 计算对比度
I_max = np.max(I_bar)
I_min = np.min(I_bar)
V = (I_max - I_min) / (I_max + I_min)
print(f"对比度 V = {V:.4f}")

# 绘图
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(lambda_range*1e9, I_bar, label='I_bar (直通端)', color='#3498db')
plt.plot(lambda_range*1e9, I_cross, label='I_cross (交叉端)', color='#e74c3c', linestyle='--')
plt.xlabel('波长 (nm)')
plt.ylabel('归一化光强')
plt.title('MZI传输函数')
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

4.5 热光调谐中的传输函数应用

在热光调谐MZI中，通过加热改变一臂的有效折射率 \(\Delta n_{eff}\)，从而改变相位差：

Delta_phi = (2 * pi / lambda) * Delta_n_eff * L_heater

其中 \(L_{heater}\) 为加热电极覆盖的波导长度。传输函数将随加热功率发生周期性变化，通过监测输出光强的变化，可以提取热光系数 \(\frac{d n_{eff}}{d T}\) 和调谐效率 \(\frac{d \phi}{d P}\)。