3. 热传导与温度场求解
热应力分析的起点不是应力方程，而是温度场。温度场决定了材料各点自由膨胀量，当自由膨胀受到约束或相邻点膨胀不一致时，热应力才出现。因此，能否把温度场算准，直接决定后续热应力结果是否可信。本节围绕稳态与非稳态热传导、三类边界条件、典型热源模型，以及它们对热应力分析的影响展开。
一、热传导控制方程：稳态与非稳态
各向同性材料的三维瞬态热传导方程为：
ρ·c_p·∂T/∂t = ∂/∂x(k·∂T/∂x) + ∂/∂y(k·∂T/∂y) + ∂/∂z(k·∂T/∂z) + Q其中 ρ 为密度，c_p 为定压比热容，k 为导热系数，Q 为内热源生热率。若温度不随时间变化，∂T/∂t = 0，方程退化为稳态形式，此时温度场只由边界条件和内热源决定，与初始条件无关。
稳态与瞬态的选择取决于工艺特征时间与热扩散时间的比较。定义热扩散率 α = k/(ρ·c_p)，特征热扩散时间 t_d ≈ L²/α，L 为构件特征尺寸。若过程持续时间远大于 t_d，可近似按稳态处理；若加热或冷却时间与 t_d 同量级甚至更短，必须做瞬态分析。例如对 10 mm 厚的低碳钢件，α 约为 1.2×10⁻⁵ m²/s，t_d 约为 8 s；激光加热持续几十毫秒时，瞬态效应不可忽略；而长时间稳定运行的换热器管板，则可用稳态求解。
瞬态问题还需初始条件 T(x,y,z,0) = T₀(x,y,z)。初始温度分布不均匀时，早期温度场会同时受初始分布和边界条件影响，若随意取均匀室温作为初值，可能引入虚假的早期热应力。
二、三类边界条件及其工程含义
热传导方程的通解包含任意常数，必须由边界条件确定。工程中常用三类边界条件：
- 第一类（Dirichlet）：给定边界温度 T = T_w(t)。适用于表面温度可测或由相变、沸腾等强烈换热维持近似恒温的场合，如淬火件表面在膜沸腾阶段。
- 第二类（Neumann）：给定边界热流密度 q = -k·∂T/∂n = q_w(t)。适用于已知热流输入，如电加热片、激光辐照面、绝热面（q_w = 0）。
- 第三类（Robin）：给定对流换热 q = h·(T_s - T_∞)。适用于空气冷却、水冷等对流环境，h 为对流换热系数，T_s 为表面温度，T_∞ 为环境温度。
边界条件的选择对结果影响极大。同一构件，若把表面设为绝热，热量只能沿构件内部传导，温度梯度大；若设为强对流，表面热量迅速散失，温度梯度小。实际建模时，应优先使用可测量的物理量作为边界条件，例如用热电偶测表面温度则用第一类，用热流计测输入功率则用第二类，用风速和换热关联式估算 h 则用第三类。
三、热源模型：从集中到分布
焊接、激光熔覆、增材制造等工艺的热源具有强局部性和移动性，热源模型决定温度场的峰值、梯度和冷却速度。常见模型包括：
- 集中热源：把热源简化为点、线或面，适用于远离热源区域的宏观温度场，但热源附近温度趋于奇异，不能用于熔池附近应力分析。
- 高斯面热源：热流密度按高斯分布 q(r) = q_max·exp(-3r²/r₀²)，r₀ 为有效加热半径。适合激光、电子束等表面加热。
- 双椭球热源：前后半轴不同，前部陡、后部缓，能反映焊接熔池前后不对称，常用于电弧焊温度场模拟。
- 体热源：考虑热源在深度方向的穿透，如旋转高斯体热源，适合高功率激光深熔焊。
热源模型中的总输入功率需与工艺参数对应：P = η·U·I（电弧焊）或 P = η·P_laser（激光），η 为热效率。若模型总功率与实测输入不符，温度场整体偏高或偏低，热应力也会系统性偏差。
四、温度场求解流程与热应力衔接
实际分析通常采用“热分析—热应力分析”顺序耦合：先求解瞬态温度场，再把各时刻温度作为体载荷导入力学模型。温度场求解的关键步骤包括：几何简化、材料热物性赋值、边界条件与热源施加、时间步设置、求解与后处理。时间步应足够小以捕捉温度急剧变化，一般要求每个时间步内温度变化不超过几十摄氏度，或按热源移动速度与单元尺寸确定。
温度场结果对热应力的影响体现在三方面：一是温度幅值决定热应变大小，Δε_th = α·ΔT；二是温度梯度决定弯曲和约束程度，梯度越大，热应力越高；三是冷却速度影响相变和材料屈服，进而改变应力历史。因此，在热应力分析前，应检查温度场是否合理：峰值温度是否与工艺相符、冷却曲线是否与实测接近、热影响区宽度是否合理。
五、工程实践中的关键判断
在具体项目中，温度场求解的合理性可通过以下方式判断：第一，检查热平衡，输入总热量应等于构件温升所需热量加上边界散失热量；第二，对比实测热电偶曲线，若峰值温度偏差超过 10%～15%，应调整热源效率或换热系数；第三，观察温度梯度是否与工艺常识一致，例如激光加热区梯度可达 10³～10⁴ K/mm，而整体加热炉内梯度通常小于 10 K/mm。
对热应力分析而言，温度场的时间步输出应与力学分析同步。若热分析时间步过大，温度历史被平滑，热应力峰值会被低估；若只输出最终温度场而忽略中间时刻，则无法捕捉瞬态热应力。建议在热源附近和几何突变处加密网格，并保证温度场输出频率不低于力学分析所需频率。