4. 二维平面问题材料建模

二维平面问题在材料有限元建模中占据基础地位。许多工程构件在某一方向尺寸远大于或远小于另外两个方向，且载荷与约束沿该方向基本不变，此时可将三维问题降为二维问题处理。降维的关键在于选择正确的假设类型——平面应力或平面应变，并配合恰当的单元类型与材料参数，才能得到可信的应力集中结果。

4.1 平面应力与平面应变的物理区别

平面应力假设适用于薄板类构件：厚度方向尺寸远小于面内尺寸，且厚度方向无外部载荷约束，因此厚度方向正应力 σ_z ≈ 0，但厚度方向应变 ε_z ≠ 0（泊松效应引起的自由收缩或膨胀）。典型对象包括薄壁板、法兰垫片、薄壳展开件等。

平面应变假设适用于长柱体或厚壁结构：沿长度方向尺寸远大于横截面尺寸，且沿该方向载荷与约束不变，因此长度方向应变 ε_z ≈ 0，但长度方向正应力 σ_z ≠ 0。典型对象包括长管道、挡土墙、大坝横截面、滚轮接触区等。

两种假设对材料本构矩阵的影响不同。各向同性线弹性材料在平面应力下的本构矩阵为：

D_planestress = E/(1-ν²) * [[1, ν, 0],
                              [ν, 1, 0],
                              [0, 0, (1-ν)/2]]

D_planestrain = E/((1+ν)(1-2ν)) * [[1-ν, ν, 0],
                                    [ν, 1-ν, 0],
                                    [0, 0, (1-2ν)/2]]

可见平面应变的有效刚度更高。若在平面应变问题中误用平面应力参数，位移与应力将被高估；反之则被低估。判断准则很简单：看厚度方向是否可自由变形——可自由变形选平面应力，被约束或尺寸足够长选平面应变。

4.2 三角形与四边形单元的选择

二维连续体离散常用单元包括三节点三角形（T3）、六节点三角形（T6）、四节点四边形（Q4）和八节点四边形（Q8）。T3 单元位移场为线性，应变在单元内为常数，因此刚度偏硬，对弯曲和应力梯度问题收敛慢，仅适合填充过渡区或快速估算。Q4 单元采用双线性位移插值，比 T3 精度高，但在畸变网格下易出现剪切自锁，且对弯曲问题仍偏硬。

T6 与 Q8 为二次单元，位移场含二次项，能更好捕捉应力梯度，适合应力集中区。带孔平板孔边应力梯度极大，推荐在孔周使用 Q8 或 T6 单元，并采用放射状网格过渡到远场 Q4 单元。单元尺寸应满足：孔边第一层单元径向尺寸约为孔径的 1/10～1/20，才能将应力集中系数误差控制在 5% 以内。

4.3 各向同性材料参数

各向同性线弹性材料在二维分析中只需三个独立参数中的两个：弹性模量 E、泊松比 ν、剪切模量 G。三者关系为 G = E/(2(1+ν))。常见工程材料示例参数如下（均为教学示例值，非实测数据）：

注意：平面应变分析中若直接输入 E 和 ν，求解器会自动采用平面应变本构矩阵；但若用平面应力模块模拟平面应变问题，需将 E 替换为 E/(1−ν²)、ν 替换为 ν/(1−ν) 进行等效转换，否则结果偏差可达 10%～20%。

4.4 带孔平板应力集中建模任务

以一块 200 mm × 100 mm × 2 mm 的 Q235 钢板为例，中心圆孔直径 d = 20 mm，两端受均布拉伸载荷 σ₀ = 100 MPa。理论应力集中系数 K_t = 3.0（无限大板小孔），有限宽板需按 K_t = 3.0 − 3.13(d/W) + 3.66(d/W)² − 1.53(d/W)³ 修正，其中 W = 100 mm，d/W = 0.2，得 K_t ≈ 2.51。孔边最大应力 σ_max = K_t × σ₀ ≈ 251 MPa。

建模要点：

• 利用对称性取 1/4 模型，在对称面施加法向位移约束，可减少计算量并避免刚体位移。
• 孔边布置 32～48 个 Q8 单元，径向分 6～8 层，外层过渡到 Q4 单元，远场单元尺寸可放宽至 5～10 mm。
• 材料参数：E = 206000 MPa，ν = 0.30，平面应力假设（板厚 2 mm 远小于面内尺寸）。
• 载荷：在右端面施加 100 MPa 拉应力，左端对称面施加 x 向约束，下端对称面施加 y 向约束。
• 后处理提取孔边沿路径的 σ_x 或 von Mises 应力，读取最大值并与理论 K_t 对比。

完成一次带孔平板分析后，建议做网格收敛性验证：将孔边单元尺寸减半重新计算，若最大应力变化小于 2%，可认为网格已收敛。这一步骤在应力集中问题中不可省略，因为峰值应力对网格密度极为敏感。