2. 材料力学基础与有限元控制方程

有限元法并不是一套脱离力学规律的数值技巧，它本质上是把连续介质力学中的三类基本方程——平衡方程、几何方程和本构关系——在离散网格上重新组织并求解。理解这三类方程如何配合虚功原理转化为代数方程组，是后续所有建模操作的理论根基。本节从张量描述出发，逐步过渡到有限元离散思想，为后续单元推导和求解设置建立统一的语言。

应力与应变张量：描述一点处的力学状态

连续体内任一点的应力状态不能用一个标量表示，因为同一位置不同方向截面上的应力不同。为此引入二阶应力张量 σ_ij，其分量含义为：第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量方向。在三维问题中共有 9 个分量，由剪应力互等定理 σ_ij=σ_ji 可知独立分量只有 6 个。工程计算中常写成 Voigt 列向量形式：

σ = [σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx]^T

应变张量 ε_ij 同样为二阶对称张量，正应变描述线元长度变化，剪应变描述角度畸变。需要注意工程剪应变 γ_xy=2ε_xy，这一系数 2 在有限元推导中经常引起混淆，务必在写几何方程时保持一致。符号约定上，本文统一采用拉应力为正、正应变伸长为正、剪应力按坐标轴正方向为正。

三类基本方程

平衡方程描述应力与体积力的关系。以 x 方向为例：

∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τzx/∂z + fx = 0

它表示微元体在静力平衡下各方向合力为零，是动量守恒在静力学中的体现。动力学问题则在右端加入惯性项 ρ∂²u/∂t²。

几何方程建立应变与位移的关系，小变形假设下为：

εx = ∂u/∂x,  γxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x

它说明应变是位移的一阶导数，因此位移场必须满足一定的连续性要求，这也是有限元形函数需要 C₀ 连续的原因。

本构关系连接应力与应变。线弹性各向同性材料由广义胡克定律给出：

σ = D ε,  D 由 E、ν 决定

例如平面应力下 D 为 3×3 矩阵，含 E/(1−ν²) 因子。本构矩阵 D 的对称正定性保证了刚度矩阵的对称正定性，这是有限元方程组可解的重要前提。

虚功原理与加权残值法

直接求解上述偏微分方程在复杂几何下几乎不可能，因此需要转为积分弱形式。虚功原理指出：对任意满足位移边界条件的虚位移 δu，内力虚功等于外力虚功：

∫δε^T σ dV = ∫δu^T f dV + ∫δu^T t dS

它把平衡方程和力边界条件统一到一个积分等式中，降低了对场函数连续性的要求。加权残值法则从另一角度出发，令残值在权函数空间上的加权积分为零，伽辽金法取权函数等于形函数，得到的弱形式与虚功原理一致。二者殊途同归，是有限元方程推导的两条常用路径。

有限元离散思想

离散的核心是：把连续体划分为有限个单元，在每个单元内用节点位移插值近似真实位移场 u≈N·d，其中 N 为形函数矩阵，d 为节点位移向量。代入几何方程得 ε=B·d，代入虚功原理后消去虚位移，得到单元刚度方程：

K^e = ∫ B^T D B dV,   K^e d^e = F^e

将所有单元组装成整体方程 K·d=F，引入位移边界条件后求解，再由 d 回代计算应变和应力。这一过程把无限自由度的连续问题转化为有限自由度的代数问题，是有限元法的本质。

从方程到建模操作的对应关系

理解上述链路后，建模中的许多操作就有了明确的理论对应。例如，材料参数输入对应本构矩阵 D 的构建，E 和 ν 的取值直接决定 D 中各项；网格划分对应离散化，单元类型决定形函数 N 和 B 矩阵的形式；施加约束对应位移边界条件，施加集中力或压力对应外力虚功项。若求解结果出现刚体位移或应力异常，往往可以回溯到边界条件是否充分、材料参数是否合理或单元是否退化。

本节建立的方程体系和离散思想将贯穿后续所有章节。无论是二维平面单元、三维实体单元还是壳单元，其推导都遵循“形函数→B 矩阵→K 矩阵→组装→求解”的同一逻辑，区别仅在于形函数形式和积分方式。掌握这一统一框架，比记忆具体公式更重要。