4. Allen-Cahn与Cahn-Hilliard方程

在相场建模中，序参量一旦定义好，接下来最关键的问题就是：它随时间如何演化？这个问题的答案由两类经典演化方程给出——Allen-Cahn 方程和 Cahn-Hilliard 方程。它们分别对应两种截然不同的物理约束：序参量是否守恒。理解这一区别，是判断“该用哪个方程描述晶粒长大”的核心。

一、两类序参量的物理本质

先明确参照约定：本文所有演化方程均以自由能泛函 F 对序参量场 η(r, t) 的变分导数 δF/δη 作为驱动力，序参量随时间单调降低总自由能，即 ∂F/∂t ≤ 0。这是两类方程共同的物理基础。

非保守序参量：其局部值可以凭空产生或消失，总量不守恒。典型例子是晶粒长大中的取向场 η_i(r, t)，它表示“某点属于第 i 个晶粒”的程度。当晶界扫过某点时，该点的 η_i 可以从 0 连续变为 1，而相邻晶粒的 η_j 从 1 变为 0，两者之和在局部并不守恒。这类场由 Allen-Cahn 方程描述。

保守序参量：其总量在演化中严格守恒，只能通过扩散重新分布。典型例子是浓度场 c(r, t)，如二元合金中某组元的摩尔分数。原子不会凭空产生，只能从高浓度区扩散到低浓度区。这类场由 Cahn-Hilliard 方程描述。

二、变分推导：从自由能泛函到演化方程

两类方程都来自同一个自由能泛函。以含梯度惩罚项的 Ginzburg-Landau 形式为例：

F = ∫ [ f(η) + (κ/2)|∇η|² ] dV

其中 f(η) 为局部自由能密度（双阱势），
κ 为梯度能系数，控制界面宽度与界面能。

对非保守场，假设系统以“最速下降”方式降低自由能，且序参量可局部增减，则演化方程为：

∂η/∂t = -L · δF/δη
       = -L · [ f'(η) - κ∇²η ]

L 为界面迁移率（动力学系数）。

这就是 Allen-Cahn 方程。它是一阶时间导数、二阶空间导数的反应-扩散型方程，不含守恒约束。

对保守场，序参量总量守恒意味着它必须满足连续性方程 ∂c/∂t = -∇·J。若假设通量 J 正比于化学势梯度 ∇μ，其中化学势 μ = δF/δc，则：

∂c/∂t = ∇·[ M ∇(δF/δc) ]
       = ∇·[ M ∇( f'(c) - κ∇²c ) ]

M 为原子迁移率。

这就是 Cahn-Hilliard 方程。注意它比 Allen-Cahn 多了一个散度算子，正是这个 ∇· 保证了 ∫c dV 不随时间变化。

三、与晶粒长大过程的对应关系

晶粒长大本质上是晶界迁移驱动的多晶组织粗化。在相场模型中，通常采用多取向场 η₁, η₂, …, η_Q，每个场对应一个晶粒取向。每个 η_i 都按 Allen-Cahn 方程演化，并附加约束 Ση_i = 1。晶界处多个 η_i 同时非零，界面能由梯度项 κ|∇η_i|² 贡献。晶界迁移的驱动力来自界面曲率引起的自由能降低，最终表现为大晶粒吞并小晶粒，平均晶粒尺寸满足 Rⁿ − R₀ⁿ = kt（n 通常取 2～3）。

而 Cahn-Hilliard 方程在晶粒长大中并非描述晶粒本身，而是描述与晶粒长大耦合的保守场，例如合金中溶质原子的再分配、第二相颗粒的 Ostwald 粗化、或孔隙的迁移合并。当晶粒长大伴随溶质偏聚时，需要同时求解 Allen-Cahn 方程（取向场）和 Cahn-Hilliard 方程（浓度场），两者通过自由能中的耦合项 f(η, c) 相互影响。

四、工程实现中的关键参数与判断

以一个典型的二维多晶粒长大示例为例：计算域 256×256 网格，网格间距 Δx = 1.0，时间步长 Δt = 0.01，取向场数 Q = 8，梯度能系数 κ = 1.0，界面迁移率 L = 1.0。初始时在每个晶粒内部随机赋值 η_i = 1，其余为 0，晶界处用平滑过渡。采用显式有限差分求解 Allen-Cahn 方程时，稳定性要求 Δt ≤ Δx²/(4Lκ)，代入得 Δt ≤ 0.25，取 0.01 是安全的。

判断结果是否合理，可观察三个指标：一是总自由能随时间单调下降并趋于平台；二是晶粒数随时间减少，平均晶粒面积随时间增大；三是晶界宽度保持稳定，不因数值扩散而变宽。若晶界异常增宽，通常说明 κ 过小或网格过粗；若晶粒长大停滞，则可能是 L 过小或时间步长不足。

总结来说，Allen-Cahn 与 Cahn-Hilliard 方程的分工非常清晰：前者管“非保守的取向演化”，后者管“保守的浓度演化”。在晶粒长大相场模型中，两者常常协同工作，共同决定微观组织的最终形貌与动力学路径。