4. 常用寿命分布

在小样本可靠性评估中，正确选择寿命分布模型是推导置信下限的前提。不同的分布假设对应不同的失效物理机制与数学处理方式。本章系统梳理指数分布、威布尔分布、正态分布与对数正态分布的核心特性、参数含义及典型适用场景，并通过对比表格与结构图帮助建立直观认知。

4.1 指数分布

指数分布是可靠性工程中最基础的寿命分布，其核心特征是无记忆性——产品在任意时刻的剩余寿命与已工作时间无关。

• 概率密度函数 (PDF)：\( f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \ge 0 \)
• 累积分布函数 (CDF)：\( F(t) = 1 - e^{-\lambda t} \)
• 失效率：\( \lambda(t) = \lambda \)（常数）
• 平均寿命 (MTTF)：\( 1/\lambda \)

4.2 威布尔分布

威布尔分布通过形状参数灵活刻画失效率的递增、递减或恒定趋势，是工程中适用范围最广的寿命分布。

• 概率密度函数 (PDF)：\( f(t) = \frac{\beta}{\eta} \left( \frac{t}{\eta} \right)^{\beta-1} e^{-(t/\eta)^\beta}, \quad t \ge 0 \)
• 累积分布函数 (CDF)：\( F(t) = 1 - e^{-(t/\eta)^\beta} \)
• 失效率：\( \lambda(t) = \frac{\beta}{\eta} \left( \frac{t}{\eta} \right)^{\beta-1} \)
• 参数含义：\( \beta \) 为形状参数，\( \eta \) 为尺度参数（特征寿命）

4.3 正态分布

正态分布描述由大量微小独立因素叠加导致的失效，适用于磨损、退化类失效模式。

• 概率密度函数 (PDF)：\( f(t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < t < \infty \)
• 累积分布函数 (CDF)：\( F(t) = \Phi\left( \frac{t-\mu}{\sigma} \right) \)
• 失效率：随时间递增（非恒定）
• 参数含义：\( \mu \) 为位置参数（平均寿命），\( \sigma \) 为尺度参数（标准差）

4.4 对数正态分布

对数正态分布描述由乘积效应（而非加和效应）主导的失效过程，在半导体、材料疲劳领域应用广泛。

• 概率密度函数 (PDF)：\( f(t) = \frac{1}{t \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln t - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad t > 0 \)
• 累积分布函数 (CDF)：\( F(t) = \Phi\left( \frac{\ln t - \mu}{\sigma} \right) \)
• 失效率：先增后降（非单调）
• 参数含义：\( \mu \) 为对数均值，\( \sigma \) 为对数标准差

4.5 四种分布对比总览

4.6 分布选择决策流程

以下 SVG 结构图展示了从失效物理分析到分布选择的决策路径，帮助在小样本场景下快速锁定候选模型。

4.7 小样本场景下的分布选择建议

1. 优先指数分布：当产品处于偶然失效期或缺乏失效物理信息时，指数分布参数最少，置信下限最稳定。
2. 威布尔分布作为默认备选：当怀疑失效率非恒定但样本量不足以精确估计形状参数时，可基于历史数据固定 β 值。
3. 谨慎使用正态分布：寿命数据通常右偏，正态分布假设容易导致置信下限偏乐观（过高估计可靠寿命）。
4. 对数正态分布适用于乘积极限过程：如疲劳裂纹扩展、电迁移失效，且对数变换后小样本方法成熟。