3. 对数正态分布寿命数据建模

对数正态寿命模型的核心参数

对数正态分布适用于失效时间呈右偏、取对数后近似正态的寿命数据，常见于疲劳裂纹扩展、维修时间、半导体器件退化等场景。若寿命 T 服从对数正态分布，则 Y = ln(T) 服从正态分布 N(μ, σ²)。其中 μ 是对数均值（尺度参数），σ 是对数标准差（形状参数）。可靠度函数为：

R(t) = 1 − Φ[(ln t − μ) / σ]，Φ 为标准正态累积分布函数。

参数估计采用最大似然法。对 n 个完全失效数据 t₁, t₂, …, tₙ，令 yᵢ = ln(tᵢ)，则：

• 对数均值估计：μ̂ = (1/n) Σ yᵢ
• 对数标准差估计：σ̂ = √[(1/n) Σ (yᵢ − μ̂)²]（MLE 形式，分母为 n）

参数估计与可靠度计算实操

下面用 Python 对上述 14 个寿命数据完成对数均值、对数标准差估计，并绘制可靠度曲线。代码不依赖外部数据文件，可直接运行。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 1. 输入寿命数据（小时）
t = np.array([120, 185, 210, 260, 310, 380, 450,
              530, 640, 780, 920, 1100, 1350, 1600], dtype=float)

# 2. 对数变换
y = np.log(t)

# 3. MLE 参数估计（完全失效数据）
mu_hat = np.mean(y)                    # 对数均值
sigma_hat = np.sqrt(np.mean((y - mu_hat)**2))  # 对数标准差（MLE，分母 n）

print(f"mu_hat    = {mu_hat:.4f}")
print(f"sigma_hat = {sigma_hat:.4f}")
print(f"中位寿命 t50 = {np.exp(mu_hat):.1f} h")

# 4. 可靠度函数 R(t) = 1 - Phi((ln t - mu)/sigma)
def reliability(t, mu, sigma):
    return 1 - norm.cdf((np.log(t) - mu) / sigma)

# 5. 关键寿命点
for r in [0.9, 0.5, 0.1]:
    t_r = np.exp(mu_hat + sigma_hat * norm.ppf(1 - r))
    print(f"R={r:.1f} 对应寿命 t = {t_r:.1f} h")

# 6. 绘制可靠度曲线
t_grid = np.linspace(1, 2500, 500)
R_grid = reliability(t_grid, mu_hat, sigma_hat)

plt.figure(figsize=(8, 4.5))
plt.plot(t_grid, R_grid, color="#3182ce", lw=2.5, label="对数正态拟合")
plt.scatter(t, np.ones_like(t) * 0.02, marker="|", color="#e53e3e",
            label="失效数据位置")
plt.axhline(0.5, color="#a0aec0", ls="--", lw=1)
plt.axvline(np.exp(mu_hat), color="#a0aec0", ls="--", lw=1)
plt.xlabel("寿命 t (h)")
plt.ylabel("可靠度 R(t)")
plt.title("对数正态寿命模型可靠度曲线")
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

结果判读与验证