1. 基于指数分布的电子元件寿命建模

指数分布为什么适合恒定失效率元件

电子元件在偶然失效期内的失效率近似恒定，此时寿命 T 服从指数分布。其可靠度函数为 R(t)=e^−λt，失效密度为 f(t)=λe^−λt，平均寿命 MTTF=1/λ。只要从试验数据中估计出失效率 λ，就能得到任意时刻的可靠度。

用最大似然估计求 λ

设 n 个元件投入试验，到截止时共观察到 r 个失效，总试验时间 T_total 为各元件实际运行时间之和（含未失效元件的截尾时间）。指数分布下失效率的 MLE 为：

λ̂ = r / T_total

若为定数截尾（观察到第 r 个失效即停止），则 T_total = Σ_i=1..r t_(i) + (n−r)·t_(r)，其中 t_(i) 为第 i 个失效时间，t_(r) 为第 r 个失效时间。

教学示例：10 只元件定时截尾试验

假设 10 只同型元件同时投入试验，在 t=500 h 时停止。期间记录到 4 只失效，失效时间分别为 120、210、350、480 h，其余 6 只在 500 h 时仍未失效。计算总试验时间：

T_total = (120+210+350+480) + 6×500
        = 1160 + 3000
        = 4160 h

λ̂ = r / T_total = 4 / 4160 ≈ 9.615×10⁻⁴ /h

MTTF = 1/λ̂ ≈ 1040 h

由此得到可靠度函数：R(t)=e^{−9.615×10⁻⁴·t}。例如 t=500 h 时，R(500)=e^−0.4808≈0.618；t=1000 h 时，R(1000)=e^−0.9615≈0.382。

用 Python 完成估计与曲线绘制

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 失效时间与截尾时间
fail_times = np.array([120, 210, 350, 480])
n_total = 10
t_censor = 500

# 总试验时间
T_total = fail_times.sum() + (n_total - len(fail_times)) * t_censor
r = len(fail_times)
lam_hat = r / T_total
mttf = 1 / lam_hat

print(f"λ̂ = {lam_hat:.6e} /h")
print(f"MTTF = {mttf:.1f} h")

# 可靠度曲线
t = np.linspace(0, 2000, 200)
R = np.exp(-lam_hat * t)

plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.plot(t, R, color='#3182ce', linewidth=2, label=f'R(t)=e^(−{lam_hat:.2e}t)')
plt.axhline(0.5, color='#a0aec0', linestyle='--', linewidth=0.8)
plt.axvline(mttf * np.log(2), color='#e53e3e', linestyle='--', linewidth=0.8,
            label=f'中位寿命={mttf*np.log(2):.0f} h')
plt.xlabel('t / h')
plt.ylabel('R(t)')
plt.title('指数分布可靠度曲线')
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

结果判读与验证

• λ̂ 量纲：1/h，表示单位时间失效概率，数值越小越可靠。
• MTTF：平均寿命，指数分布下等于特征寿命，也是 R(t)=e⁻¹≈0.368 对应的时间。
• 中位寿命：R(t)=0.5 时 t=MTTF·ln2≈0.693·MTTF，本例约 721 h。
• 拟合检验：可将经验可靠度与理论 R(t) 对比，或用指数分布概率纸检查是否近似直线。