📚 课程目录第3章应变分析与本构关系

3. 应变分析与本构关系

在材料多轴应力分析中，应力张量描述了“受力状态”，而应变张量描述了“变形状态”。两者通过本构关系连接起来，构成弹性范围内强度与刚度计算的基础。本节围绕小应变张量、体积应变、广义胡克定律以及各向同性材料弹性常数之间的关系展开，重点说明这些量在工程计算中如何定义、如何换算、如何用于判断变形特征。

一、小应变张量的定义与分解

在小变形假设下，物体内某点的变形由位移场 u_i 描述，小应变张量定义为：

ε_ij = 1/2 ( ∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i )

该张量是对称二阶张量，共 6 个独立分量：3 个正应变 ε_xx、ε_yy、ε_zz，以及 3 个工程剪应变 γ_xy、γ_yz、γ_zx。注意张量剪应变 ε_xy 与工程剪应变 γ_xy 的关系为 γ_xy = 2ε_xy，这是工程计算中最容易混淆的系数之一。

与应力张量类似，应变张量也可分解为球张量与偏张量：

ε_ij = ε_m δ_ij + e_ij
ε_m = (ε_xx + ε_yy + ε_zz)/3

其中 ε_m 为平均正应变，e_ij 为应变偏张量。球张量部分只改变体积，偏张量部分只改变形状。这一分解是理解体积应变与畸变能的基础。

二、体积应变

体积应变定义为单位体积的体积改变量。在小应变条件下，体积应变等于三个正应变之和：

θ = ε_xx + ε_yy + ε_zz = 3ε_m

体积应变 θ 是一个标量，反映材料是否发生体积膨胀或压缩。对于各向同性线弹性材料，体积应变只与平均正应力 σ_m 有关：

θ = (1 - 2ν)/E · (σ_xx + σ_yy + σ_zz) = 3(1 - 2ν)/E · σ_m

由此可得一个重要结论：当 ν = 0.5 时，θ = 0，材料不可压缩。橡胶类材料泊松比接近 0.5，因此几乎不产生体积变化，只发生形状畸变。工程中常用体积模量 K 描述体积应力与体积应变的关系：

K = E / [3(1 - 2ν)]
σ_m = K θ

三、广义胡克定律

各向同性线弹性材料的广义胡克定律给出应力与应变之间的线性关系。以应变表示应力时：

σ_xx = λ(ε_xx + ε_yy + ε_zz) + 2G ε_xx
σ_yy = λ(ε_xx + ε_yy + ε_zz) + 2G ε_yy
σ_zz = λ(ε_xx + ε_yy + ε_zz) + 2G ε_zz
τ_xy = G γ_xy,  τ_yz = G γ_yz,  τ_zx = G γ_zx

其中 λ 和 G 为拉梅常数，G 也称为剪切模量。以应力表示应变时：

ε_xx = [σ_xx - ν(σ_yy + σ_zz)] / E
ε_yy = [σ_yy - ν(σ_zz + σ_xx)] / E
ε_zz = [σ_zz - ν(σ_xx + σ_yy)] / E
γ_xy = τ_xy / G,  γ_yz = τ_yz / G,  γ_zx = τ_zx / G

这两组公式是弹性力学计算的核心工具。实际使用时，先根据受力状态确定应力分量，再代入第二组公式求应变；或先由位移场求应变，再代入第一组公式求应力。

四、各向同性材料弹性常数关系

各向同性线弹性材料只有两个独立弹性常数，其余常数均可由这两个导出。常用常数包括弹性模量 E、泊松比 ν、剪切模量 G、体积模量 K 和拉梅常数 λ。它们之间的关系如下：

G = E / [2(1 + ν)]
K = E / [3(1 - 2ν)]
λ = Eν / [(1 + ν)(1 - 2ν)]
E = 9KG / (3K + G)
ν = (3K - 2G) / (2(3K + G))

工程中通常以 E 和 ν 作为输入参数，因为这两个量最容易通过单轴拉伸试验测得。测得 E 和 ν 后，即可计算 G 和 K，进而完成多轴应力状态下的应变或应力求解。

记忆要点：E 与 G 的关系中分母为 2(1+ν)，E 与 K 的关系中分母为 3(1−2ν)。当 ν 从 0 增大到 0.5 时，G 缓慢减小，K 迅速增大，材料越来越接近不可压缩。

五、典型示例：平面应力状态下的应变计算

设某各向同性钢制薄板处于平面应力状态，已知 E = 210 GPa，ν = 0.30，测得 σ_xx = 120 MPa，σ_yy = 40 MPa，τ_xy = 60 MPa，σ_zz = 0。求各应变分量。

先计算剪切模量：

G = E / [2(1 + ν)] = 210 / [2 × 1.30] ≈ 80.77 GPa

再代入平面应力公式：

ε_xx = (σ_xx - ν σ_yy) / E
     = (120 - 0.30 × 40) / 210000
     = 108 / 210000 ≈ 5.14 × 10^-4

ε_yy = (σ_yy - ν σ_xx) / E
     = (40 - 0.30 × 120) / 210000
     = 4 / 210000 ≈ 1.90 × 10^-5

γ_xy = τ_xy / G = 60 / 80770 ≈ 7.43 × 10^-4

体积应变为：

θ = ε_xx + ε_yy + ε_zz
  = 5.14 × 10^-4 + 1.90 × 10^-5 + ε_zz

平面应力下 ε_zz 不为零，由 ε_zz = −ν(σ_xx + σ_yy)/E 计算：

ε_zz = -0.30 × 160 / 210000 ≈ -2.29 × 10^-4
θ ≈ 5.14 × 10^-4 + 0.19 × 10^-4 - 2.29 × 10^-4
  ≈ 3.04 × 10^-4

结果表明，该点体积略有膨胀，主要由 σ_xx 引起的 x 向伸长贡献，而 z 向因泊松效应产生压缩。

六、工程应用中的注意事项

第一，区分张量剪应变与工程剪应变。有限元软件输出的剪应变通常为工程剪应变 γ，而理论推导中常用张量剪应变 ε。两者相差 2 倍，代入本构方程时必须统一。

第二，平面应力与平面应变的应变状态不同。平面应力下 ε_zz ≠ 0，平面应变下 ε_zz = 0 但 σ_zz ≠ 0。计算体积应变时，平面应变问题可直接取 θ = ε_xx + ε_yy，而平面应力问题必须补上 ε_zz。

第三，弹性常数关系仅在材料处于线弹性、各向同性、小变形范围内成立。进入塑性后，体积应变近似为零（金属材料），但应力应变关系不再线性，需改用塑性本构模型。

常见错误：用 E 和 ν 计算 G 时误写为 G = E/(1+ν)；用 E 和 ν 计算 K 时误写为 K = E/(1−2ν)。正确分母分别为 2(1+ν) 和 3(1−2ν)，漏掉系数 2 或 3 会导致刚度计算偏差数倍。

掌握上述定义与换算关系后，即可在任意多轴应力状态下快速完成应力—应变互算，并为后续强度准则中的畸变能与体积能计算提供基础数据。