2. 应力张量与应变张量
在单轴拉伸中，我们习惯用一个正应力 σ 描述一点的受力状态。但工程构件大多处于多轴应力状态：压力容器壁、涡轮盘、焊接接头、复合材料层合板，任意一点的应力都需要用多个分量才能完整描述。应力张量就是把“一点应力状态”从单个数字升级为矩阵的工具，它同时承载了大小、方向与坐标变换三件事。
一、一点应力状态的矩阵表示
在直角坐标系 Oxyz 中，围绕一点取一个无限小的正六面体微元。每个面上有一个应力矢量，可分解为一个正应力和两个切应力。约定：正应力以拉为正、压为负；切应力第一个下标表示作用面法线方向，第二个下标表示切应力指向。例如 τxy 表示作用在法线为 x 的面上、指向 y 方向的切应力。
由微元力矩平衡可推出切应力互等：τxy=τyx，τyz=τzy，τzx=τxz。因此描述一点应力状态只需 6 个独立分量，写成 3×3 对称矩阵：
[σ] = | σx τxy τxz |
| τxy σy τyz |
| τxz τyz σz |这个矩阵不是普通的数字表格，而是一个二阶张量：当坐标系旋转时，6 个分量按确定的变换规律重新组合，但所描述的物理状态不变。这正是张量区别于“分量集合”的关键。应变张量 [ε] 具有完全相同的结构，正应变 εx、εy、εz 位于对角线，切应变的一半 γxy/2、γyz/2、γzx/2 位于非对角线，以保证应变张量对称且满足坐标变换要求。
二、主应力与主方向
在一般斜截面上，应力矢量既有正应力也有切应力。是否存在某些特殊方向，使切应力恰好为零、应力矢量与截面法线重合？这就是主方向问题，数学上归结为矩阵特征值问题：
([σ] − λ[I])·{n} = 0其中 λ 为主应力，{n} 为对应的主方向单位矢量。展开后得到特征方程 λ³ − I₁λ² + I₂λ − I₃ = 0，三个实根即三个主应力 σ₁、σ₂、σ₃，按代数值排序 σ₁≥σ₂≥σ₃。三个主方向两两正交，构成主坐标系。在主坐标系中，应力矩阵变为对角阵，切应力全部消失。
工程上求主应力常用两种途径：一是解上述三次特征方程；二是对平面应力状态用公式 σ1,2=(σx+σy)/2±√[((σx−σy)/2)²+τxy²]，主方向角 tan2θp=2τxy/(σx−σy)。例如某焊接接头表面点测得 σx=120 MPa、σy=40 MPa、τxy=−60 MPa，代入得平均应力 80 MPa、半径 √(40²+60²)=72.1 MPa，故 σ₁=152.1 MPa、σ₂=7.9 MPa，主方向角 θp=−35.8°（示例数据，用于说明计算流程）。
三、应力不变量
特征方程的系数 I₁、I₂、I₃ 不随坐标系改变，称为应力不变量：
I1 = σx + σy + σz
I2 = σxσy + σyσz + σzσx − τxy² − τyz² − τzx²
I3 = det[σ]I₁ 与静水压力直接相关，反映体积变化趋势；I₂、I₃ 则与形状改变和剪切变形相关。许多强度准则（如 von Mises、Tresca、Drucker-Prager）正是用不变量表达的，因为不变量与坐标系无关，准则才具有客观性。偏应力张量 sij=σij−σmδij 的第二不变量 J₂ 是塑性屈服判据的核心参数，J₂=(1/6)[(σ₁−σ₂)²+(σ₂−σ₃)²+(σ₃−σ₁)²]。
四、莫尔圆的三维扩展
平面应力状态的莫尔圆只画一个圆。三维应力状态下，三个主应力两两组合可画出三个圆：C₁₂、C₂₃、C₃₁。三个圆之间的阴影区域代表所有可能斜截面上的 (σ,τ) 组合，圆外区域在物理上不可达。最大切应力出现在 C₁₃ 圆的顶点：τmax=(σ₁−σ₃)/2，作用面与 σ₁、σ₃ 主方向各成 45°。
三维莫尔圆的重要工程意义在于：判断危险截面、确定最大切应力位置、校核脆性材料与塑性材料的失效模式。脆性材料通常由最大拉应力 σ₁ 控制，塑性材料则由 τmax 或 J₂ 控制。下图给出应力张量从矩阵到主应力、不变量与三维莫尔圆的完整关系。
把上述关系串起来看：应力矩阵是输入，特征值分解给出主应力和主方向，不变量提供坐标无关的标量描述，三维莫尔圆则把所有斜截面上的应力组合可视化。工程计算中，有限元后处理提取的正是这 6 个分量，再通过主应力或不变量代入强度准则完成校核。理解这条链路，后续的屈服准则、疲劳分析和失效判据才有统一的数学基础。