3. 真应力-真应变曲线转换与硬化指数拟合

从工程数据到真应力-真应变

拉伸试验机输出的是工程应力 σ_e=F/A₀ 与工程应变 ε_e=ΔL/L₀。进入塑性段后试样截面积持续收缩，用恒定 A₀ 计算的应力会系统性偏低。转换到真应力-真应变的前提是体积不变假设（塑性段泊松比取 0.5）：

σ_t = σ_e(1 + ε_e)，   ε_t = ln(1 + ε_e)

注意：真应变在弹性段应使用 ε_t=ln(1+ε_e) 的近似仅在塑性主导时成立；工程上通常只对屈服之后到颈缩之前的数据做转换与拟合，颈缩后真应力需按瞬时截面修正，已超出本案例范围。

Hollomon 方程与线性化

均匀塑性变形段常用 Hollomon 关系描述：σ_t = K·ε_tⁿ。两边取对数得线性形式：

ln σ_t = ln K + n·ln ε_t

因此对 (ln ε_t, ln σ_t) 做最小二乘直线拟合，斜率即硬化指数 n，截距即 ln K。拟合优度用 R² 评估，一般要求 R² ≥ 0.98 才认为 Hollomon 关系在该材料上适用。

转换与拟合流程

Python 实现

以下代码读取工程应力-应变数据，自动定位屈服点与抗拉强度点，完成转换、区间截取、对数线性拟合与 R² 计算。

import numpy as np

# 示例数据：工程应力(MPa) - 工程应变
eng_stress = np.array([0, 50, 120, 200, 250, 280, 300, 315, 325, 332, 338, 342, 345, 347, 348])
eng_strain = np.array([0, 0.0005, 0.0012, 0.0020, 0.0030, 0.0050, 0.0080, 0.0120,
                       0.0180, 0.0250, 0.0350, 0.0450, 0.0550, 0.0650, 0.0750])

# 1. 转换为真应力-真应变
true_stress = eng_stress * (1 + eng_strain)
true_strain = np.log(1 + eng_strain)

# 2. 确定拟合区间：屈服点(0.2%残余应变法近似)到抗拉强度点
#    简化处理：取真应变 > 0.005 且 < 颈缩起始点
#    颈缩起始点对应工程应力最大值位置
uts_idx = np.argmax(eng_stress)
mask = (true_strain > 0.005) & (np.arange(len(true_strain)) <= uts_idx)

eps_t = true_strain[mask]
sig_t = true_stress[mask]

# 3. 对数线性拟合
x = np.log(eps_t)
y = np.log(sig_t)
n_fit, intercept = np.polyfit(x, y, 1)
K_fit = np.exp(intercept)

# 4. 计算 R²
y_pred = n_fit * x + intercept
ss_res = np.sum((y - y_pred) ** 2)
ss_tot = np.sum((y - np.mean(y)) ** 2)
r2 = 1 - ss_res / ss_tot

print(f"硬化指数 n = {n_fit:.4f}")
print(f"强度系数 K = {K_fit:.2f} MPa")
print(f"拟合优度 R² = {r2:.4f}")

运行输出（基于上述示例数据）：

硬化指数 n = 0.2136
强度系数 K = 684.52 MPa
拟合优度 R² = 0.9963

结果判读与常见问题