4. 部分析因设计与筛选实验
当因子数达到5个以上时，全析因设计的试验次数会迅速膨胀：5因子2水平需要32次，7因子需要128次，若再考虑中心点或重复，成本往往超出研发预算。部分析因设计（Fractional Factorial Design）正是为解决这一矛盾而生——它用一部分试验组合，换取对主效应和低阶交互作用的有效估计。但代价是：某些效应会彼此“混淆”，这就是别名结构。理解分辨度与别名结构，是正确使用部分析因设计的前提。
一、部分析因的基本构造：用生成元定义“半个”设计
以23全析因为例，共8个试验点。若只做4次，就得到23-1部分析因。选择哪一个生成元（generator）决定了哪些效应被别名。常见做法是令C = AB，即用AB的乘积定义第三列。此时别名结构为：C与AB混淆，A与BC混淆，B与AC混淆。用定义关系I = ABC表示，称为分辨度III设计。
更一般地，2k-p设计有p个生成元，由它们相乘可得到定义关系（defining relation），定义关系中最短字的长度即为该设计的分辨度（Resolution）。分辨度用罗马数字表示：
- 分辨度III：主效应与二阶交互混淆，如23-1、25-2。适合因子筛选初期，前提是假设高阶交互可忽略。
- 分辨度IV：主效应不与二阶交互混淆，但二阶交互之间彼此混淆，如24-1、26-2。适合需要判断主效应且不希望被交互干扰的筛选。
- 分辨度V：主效应与三阶交互混淆，二阶交互与三阶交互混淆，如25-1。适合需要估计部分二阶交互的场合。
选择分辨度的原则是：先明确本次实验最需要保护哪些效应。若目标是“筛出显著主效应”，分辨度III或IV通常足够；若还要判断两因子交互是否显著，则至少需要分辨度IV以上，并配合折叠设计。
二、别名结构：读表与判断
别名结构（Alias Structure）描述了哪些效应无法独立估计。以24-1设计、生成元D = ABC为例，定义关系为I = ABCD，分辨度为IV。其别名结构为：
A + BCD
B + ACD
C + ABD
D + ABC
AB + CD
AC + BD
AD + BC这意味着：若因子A显著，我们无法区分是A本身还是BCD三阶交互在起作用；若AB显著，也无法区分AB与CD。在筛选阶段，通常假设三阶及以上交互可忽略，因此主效应可被清晰解释；但二阶交互之间的混淆必须警惕——若AB与CD同时可能显著，就需要追加试验来解耦。
三、折叠设计：用“镜像”解耦别名
折叠设计（Foldover Design）是解决别名混淆最直接的手段。做法是：在原设计基础上，将所有因子的水平取反（+变−，−变+），再追加同样数量的试验。原设计与折叠设计合并后，某些别名对会被解耦。
以24-1、D = ABC为例，折叠后新设计的生成元变为D = −ABC，定义关系变为I = −ABCD。将原设计与折叠设计合并，ABCD项在两次中符号相反，因此ABCD被消去，而主效应和二阶交互的估计不再与ABCD混淆。具体效果是：原设计中A与BCD混淆，折叠后A仍与BCD混淆，但BCD的符号在两次中相反，合并后可通过对比判断A是否显著；而AB与CD的混淆在折叠后变为AB与−CD，合并后可分离。
折叠设计有两种常见形式：
- 全折叠：所有因子水平取反，试验次数翻倍，可解耦所有与定义关系相关的别名。
- 部分折叠：只取反一个或几个因子，用于解耦特定别名，成本更低但解耦能力有限。
在实际研发中，若筛选实验后发现某个二阶交互接近显著，且其别名项也接近显著，最经济的做法就是追加一次折叠实验，而不是重新做全析因。
四、高熵合金配方因子筛选案例
假设要筛选一种CoCrFeNiMn系高熵合金的强化效果，考虑5个配方因子，每个因子取2水平：
- A：Co含量（低/高）
- B：Cr含量（低/高）
- C：Fe含量（低/高）
- D：Ni含量（低/高）
- E：Mn含量（低/高）
响应变量为室温屈服强度（MPa）。若做全析因需32次熔炼与测试，成本过高。选择25-1部分析因，生成元E = ABCD，定义关系I = ABCDE，分辨度为V。试验次数16次，可估计所有主效应和部分二阶交互。
假设试验后得到如下效应估计（示例数据，非实测）：
| 效应 | 估计值/MPa | 别名项 |
|---|---|---|
| A（Co） | +38 | BCDE |
| B（Cr） | +52 | ACDE |
| C（Fe） | −12 | ABDE |
| D（Ni） | +21 | ABCE |
| E（Mn） | +9 | ABCD |
| AB | +27 | CDE |
| AC | −8 | BDE |
| AD | +15 | BCE |
判断：B（Cr）和A（Co）主效应最大，AB交互也较明显。由于分辨度为V，主效应不与二阶交互混淆，因此可初步认为Cr和Co是显著强化因子，且二者存在正向交互。但AB与CDE混淆，若CDE三阶交互不可忽略，则AB的估计可能有偏。此时可追加一次折叠实验：将E = −ABCD作为新生成元，合并后AB与CDE解耦，验证AB是否仍然显著。
五、陶瓷配方筛选的类似逻辑
陶瓷配方筛选常涉及烧结温度、保温时间、成型压力、粘结剂含量、粒径等多个因子。以26-2设计为例，6因子、16次试验，分辨度IV。生成元可选F = ABC、E = ABD，定义关系为I = ABCF = ABDE = CDEF。此时主效应不与二阶交互混淆，但二阶交互之间成对混淆。若发现AB显著，需检查CD或EF是否同样显著；若无法区分，则追加折叠实验。
与高熵合金案例不同的是，陶瓷配方中烧结温度与保温时间往往存在强交互，因此筛选阶段应优先保护这两个因子的二阶交互，必要时直接采用分辨度IV以上的设计，并在分析时优先查看温度×时间的交互效应。
总结本节要点：部分析因设计通过生成元构造，用定义关系描述别名结构，分辨度决定主效应与交互的混淆程度。筛选实验应优先保护主效应和关键二阶交互，分辨度III适合粗筛，分辨度IV以上适合需要判断交互的场合。当别名项无法忽略时，折叠设计是最经济的解耦手段。在高熵合金或陶瓷配方筛选中，先明确响应变量与关键因子，再选择合适的分辨度，最后用折叠或验证实验确认结论，才能既控制成本又保证结论可靠。