4. Croston方法原始算法：参数初始化、更新公式、预测输出

Croston 方法（1972）是间歇需求预测的奠基性算法。其核心思想是将原始需求序列分解为非零需求大小与需求间隔两个独立子序列，分别对二者进行指数平滑，再通过组合计算得到每期的预测值。本章详细拆解原始算法的三个关键环节：参数初始化、递推更新公式、预测输出逻辑。

4.1 算法核心流程总览

下图展示了 Croston 原始算法的完整数据流与状态更新路径：

4.2 参数初始化

Croston 方法需要为三个状态变量设置初始值：需求大小平滑值 \(z_0\)、间隔平滑值 \(p_0\)、间隔计数器 \(q_0\)。初始化策略直接影响前几期预测的稳定性。

4.3 递推更新公式

在每个时间周期 \(t\)，算法根据当前观测值 \(Y_t\) 是否为零，执行两套不同的更新逻辑。这是 Croston 方法区别于常规指数平滑的关键特征。

4.3.1 当 \(Y_t = 0\)（无需求发生）

• 间隔计数器递增： \(q_t = q_{t-1} + 1\)
• 需求大小平滑值保持不变： \(z_t = z_{t-1}\)
• 间隔平滑值保持不变： \(p_t = p_{t-1}\)

零需求期间，算法仅记录间隔的延长，不更新需求大小的估计。

4.3.2 当 \(Y_t > 0\)（有需求发生）

• 需求大小平滑更新： \(z_t = \alpha \cdot Y_t + (1 - \alpha) \cdot z_{t-1}\)
• 间隔平滑更新： \(p_t = \alpha \cdot q_t + (1 - \alpha) \cdot p_{t-1}\)
• 间隔计数器重置： \(q_t = 1\)

当需求发生时，算法同时更新需求大小和间隔的平滑估计，并将计数器重置为 1，开始记录下一次间隔。

4.4 预测输出

Croston 方法在每个周期 \(t\) 结束后，输出下一期的点预测值：

其中：

• \(z_t\)：当前周期结束后，非零需求大小的平滑估计
• \(p_t\)：当前周期结束后，需求间隔的平滑估计

该预测值可以理解为“每期平均需求”。由于 \(p_t\) 通常大于 1，预测值会显著低于最近一次非零需求的大小，这符合间歇需求“大部分周期无需求”的客观规律。

4.5 完整算法伪代码

以下 Python 代码实现了 Croston 原始算法的完整递推过程：

def croston_original(series, alpha=0.1):
    """
    Croston 原始算法（1972）
    
    参数:
        series : list or np.array, 原始需求时间序列
        alpha  : float, 平滑系数 (0 < alpha < 1)
    
    返回:
        forecasts : list, 每期结束后对下一期的预测值
        z_vals    : list, 需求大小平滑值历史
        p_vals    : list, 间隔平滑值历史
    """
    n = len(series)
    forecasts = [None] * n
    z_vals = [None] * n
    p_vals = [None] * n
    
    # 初始化：找到第一个非零值
    z = None
    p = 1.0
    q = 1
    first_nonzero = -1
    
    for i in range(n):
        if series[i] > 0:
            first_nonzero = i
            z = series[i]
            break
    
    # 如果全零序列，返回零预测
    if first_nonzero == -1:
        return [0.0] * n, [0.0] * n, [1.0] * n
    
    # 第一个非零值之前的预测设为0
    for i in range(first_nonzero):
        forecasts[i] = 0.0
        z_vals[i] = 0.0
        p_vals[i] = p
    
    # 从第一个非零值开始递推
    z_vals[first_nonzero] = z
    p_vals[first_nonzero] = p
    forecasts[first_nonzero] = z / p
    
    for i in range(first_nonzero + 1, n):
        y = series[i]
        
        if y == 0:
            # 零需求：仅递增间隔计数器
            q += 1
            # z 和 p 保持不变
        else:
            # 非零需求：更新平滑值
            z = alpha * y + (1 - alpha) * z
            p = alpha * q + (1 - alpha) * p
            q = 1  # 重置计数器
        
        z_vals[i] = z
        p_vals[i] = p
        forecasts[i] = z / p
    
    return forecasts, z_vals, p_vals

4.6 算法特性总结