2. MAPE 定义与数学公式
2.1 数学表达式
MAPE（Mean Absolute Percentage Error，平均百分比误差）是库存预测中最常用的误差指标之一。其核心思想是：将每个预测点的误差除以实际值，得到百分比误差，再对所有时间点的百分比误差取平均值。
MAPE 的数学表达式为：
MAPE = (1/n) × Σ(|Aᵢ - Fᵢ| / |Aᵢ|) × 100%其中：
- n —— 预测期数（样本数量）
- Aᵢ —— 第 i 期的实际需求量（实际值）
- Fᵢ —— 第 i 期的预测需求量（预测值）
- |Aᵢ - Fᵢ| —— 第 i 期的误差
- |Aᵢ| —— 第 i 期的实际值值（防止负值干扰）
关键理解：MAPE 将误差“归一化”为百分比，使得不同量级、不同单位的库存 SKU 之间的预测精度可以直接比较。例如，月销量 10,000 件的爆款与月销量 50 件的慢动品，MAPE 都在 0%~∞ 的同一标尺上。
2.2 计算步骤
MAPE 的计算分为四个步骤，以库存周预测为例：
- 收集数据对：获取同一时间点的实际值 Aᵢ 与预测值 Fᵢ，至少需要 2 个以上样本。
- 计算每期百分比误差：对每个 i，计算 |Aᵢ - Fᵢ| / |Aᵢ|。
- 求和并取平均：将所有期的百分比误差相加，除以总期数 n。
- 转换为百分比：将平均值乘以 100%，得到 MAPE 值。
| 步骤 | 操作 | 示例（A=100, F=110） |
|---|---|---|
| 1 | 计算误差 | |100 - 110| = 10 |
| 2 | 除以实际值值 | 10 / |100| = 0.10 |
| 3 | 转换为百分比 | 0.10 × 100% = 10% |
| 4 | 多期平均 | 若 4 期分别为 10%, 5%, 20%, 15%，则 MAPE = (10+5+20+15)/4 = 12.5% |
2.3 直观理解
MAPE 的直观含义是：平均而言，预测值偏离实际值的百分比幅度。在库存场景中，MAPE = 12.5% 意味着：该 SKU 的周预测平均有 12.5% 的偏差。
以下 SVG 展示了 MAPE 的计算流程与误差分解：
记忆口诀：“先求每期百分比差，再取平均得 MAPE”。MAPE 越小，预测越准；在库存管理中，通常认为 MAPE < 10% 为高精度，10%~20% 为良好，20%~50% 为可接受，> 50% 则需重新审视预测模型。
2.4 MAPE 的对称性与非对称性
MAPE 在数学上具有一个容易被忽视的特性：非对称惩罚。当预测值高于实际值（过预测）和低于实际值（欠预测）时，MAPE 的惩罚力度不同。
| 场景 | 实际 A | 预测 F | 百分比误差 | 说明 |
|---|---|---|---|---|
| 过预测 10% | 100 | 110 | |100-110|/100 = 10% | 分母为实际值 100 |
| 欠预测 10% | 100 | 90 | |100-90|/100 = 10% | 分母仍为实际值 100 |
| 过预测 50% | 100 | 150 | |100-150|/100 = 50% | 误差 50% |
| 欠预测 50% | 100 | 50 | |100-50|/100 = 50% | 误差仍为 50% |
从表格可以看出，MAPE 对过预测和欠预测的惩罚在数值上是对称的（同为 10% 或 50%）。但库存场景中，过预测导致库存积压，欠预测导致缺货，两者的业务成本往往不对称——这正是后续章节讨论 sMAPE 的切入点。
⚠ 库存选型警示：MAPE 在慢动品（实际值接近 0）上会剧烈膨胀。例如实际值 A=2，预测值 F=10，MAPE 贡献为 |2-10|/2 = 400%，单个点就能拉高整体指标。在库存 ABC 分类中，C 类慢动品不宜使用 MAPE 作为主指标。