3. 层级预测基础

层级时间序列预测的核心挑战在于：如何保证不同粒度上的预测值在聚合后不自相矛盾。本章从结构定义、一致性约束到经典预测方法，建立层级预测的理论基础。

3.1 层级时间序列结构

层级时间序列按聚合维度可分为三类典型结构：

形式上，设底层节点数为 m，总节点数为 n（含所有层级），则层级结构可由一个 n × m 的聚合矩阵 S 完全描述：

y_t = S * b_t

其中 y_t 为所有节点在时刻 t 的观测向量，b_t 为底层节点的观测向量。S 矩阵的每一行定义了该节点如何由底层节点求和得到。

3.2 层级一致性约束

层级一致性（Hierarchical Coherence）是指：所有上层节点的预测值必须等于其下层子节点预测值之和。形式化定义如下：

对于任意时刻 t，令 ŷ_t 为所有节点的预测向量，
则一致性要求：ŷ_t = S * ŷ_t^(bottom)

其中 ŷ_t^(bottom) 为底层节点的预测子向量。

实际预测中，独立对各节点建模得到的预测值通常不满足该约束。不一致的来源包括：

• 模型异质性： 不同层级使用不同算法（如顶层用ARIMA、底层用Prophet）
• 数据稀疏性： 底层节点历史数据少，预测误差大且方向不一致
• 外部因素： 促销、天气等特征对不同层级影响不同

3.3 经典预测方法

解决层级一致性问题有三种经典策略，它们在信息利用和误差传播上各有取舍：

3.3.1 Top-down 方法

核心步骤：

1. 对顶层时间序列建立预测模型，得到顶层预测值 ŷ_t^(top)
2. 根据历史比例或预测比例，将顶层值分配到各底层节点
3. 底层预测 = 顶层预测 × 比例因子

比例因子的计算方式直接影响拆分质量：

方法1：历史平均比例  p_i = (1/T) * Σ(y_i,t / y_top,t)
方法2：最近比例      p_i = y_i,T / y_top,T
方法3：预测比例      p_i = ŷ_i,t / Σŷ_i,t  （需先独立预测底层趋势）

3.3.2 Bottom-up 方法

核心步骤：

1. 对每个底层节点独立建立预测模型，得到底层预测向量 ŷ_t^(bottom)
2. 通过聚合矩阵 S 计算所有上层节点的预测值：ŷ_t = S × ŷ_t^(bottom)

优点在于完全保留了底层数据的局部特征（如季节性、促销响应），但底层预测误差会随层级向上逐级放大。

3.3.3 Optimal 组合方法

由 Hyndman 等人提出，核心思想是：先对所有节点独立预测，再通过一个线性回归模型将预测值"调和"到满足一致性约束的空间中。

数学表达：

ŷ_t~(coherent) = S * (S' * W^{-1} * S)^{-1} * S' * W^{-1} * ŷ_t

其中：
- ŷ_t 为所有节点的独立预测向量 (n×1)
- W 为预测误差的协方差矩阵 (n×n)
- S 为聚合矩阵 (n×m)

当 W 取不同形式时，Optimal 组合退化为不同特例：

3.4 方法选择与工程考量

在实际项目中，方法选择需结合数据特征与业务约束：

• 数据规模： 当底层节点数 > 10,000 时，Optimal 组合的协方差矩阵估计计算量过大，可考虑稀疏近似或改用 Bottom-up
• 预测时效性： Top-down 计算最快，适合实时预测场景；Optimal 组合需额外矩阵运算，延迟较高
• 业务可解释性： Bottom-up 的预测结果可直接追溯到具体底层单元，业务团队更易接受