2. 船舶运动数学模型基础
智能避碰决策的每一步——预测他船未来位置、判断本船转向后的新航迹、评估避让是否满足安全距离——最终都要落到一个能“算得动、算得准”的船舶运动模型上。本节从工程使用角度梳理四件事：三自由度与六自由度模型各自描述什么、水动力导数从哪里来、操纵性指数如何把复杂模型压缩成可用的响应参数，以及如何从实船试验数据中辨识这些参数。
一、坐标系与运动变量：先约定，再建模
船舶运动建模普遍采用两种坐标系：惯性坐标系（大地固定，常用北-东-地 NED）与船体坐标系（原点取在船舶重心或水线面中心，x 轴指向船首，y 轴指向右舷，z 轴指向龙骨）。本文及后续图示统一采用这一约定：纵荡 u 沿 x 轴向前为正，横荡 v 沿 y 轴向右为正，垂荡 w 沿 z 轴向下为正；横摇 p、纵摇 q、艏摇 r 分别绕 x、y、z 轴，按右手定则确定正方向。避碰决策中最关心的是平面位置 (x, y) 与艏向角 ψ，因此三自由度模型是决策层的主力模型。
二、三自由度与六自由度模型的分工
三自由度模型（纵荡、横荡、艏摇）把船视为刚体在水平面内运动，状态量为 [u, v, r, x, y, ψ]，其一般形式为：
m(u̇ − v·r) = X
m(v̇ + u·r) = Y
I_z·ṙ = N其中 X、Y 为船体坐标系下的合力与合力矩，N 为绕 z 轴的艏摇力矩，I_z 为绕 z 轴的转动惯量。右端通常展开为惯性水动力项（附加质量）与黏性水动力项之和，黏性项再按泰勒级数展开成关于 v、r 的多项式，其系数即水动力导数。三自由度模型足以支撑避碰中的航迹预测、转向响应估计和 DCPA/TCPA 计算，计算量小，适合在线滚动预测。
六自由度模型在三自由度基础上增加垂荡、横摇、纵摇，状态量扩展到 12 维（6 个位置/姿态 + 6 个速度）。它主要用于需要耦合效应的场景：高速船回转时的横倾与航向耦合、波浪中的参数横摇、以及需要评估避让急转是否引发横倾风险的场合。工程上常见的折中是四自由度模型（增加横摇），在保留横摇耦合的同时控制复杂度。选择原则很直接：若决策只关心平面轨迹与艏向，用三自由度；若避让动作可能引起显著横倾或垂向运动，则升级到四或六自由度。
三、水动力导数：模型里的“物理系数”
水动力导数描述船体受到的力与力矩对运动状态量的偏导，例如 Y_v = ∂Y/∂v 表示单位横荡速度引起的横向力，N_r = ∂N/∂r 表示单位艏摇角速度引起的艏摇力矩。它们分为两类：惯性类（附加质量，如 X_u̇、Y_v̇、N_ṙ）与黏性类（阻尼与非线性项，如 Y_v、N_r、Y_vvv）。工程获取途径有三条：一是约束模试验（PMM 平面运动机构、旋转臂试验），直接测得力和力矩随运动参数的变化；二是 CFD 数值计算，用 RANS 或势流方法求导；三是经验回归公式（如基于船型参数的 Clarke 回归），适合初步设计阶段快速估算。对避碰决策而言，不必追求全套高阶导数，通常保留到一阶线性项加少量三阶项即可满足航迹预测精度。
四、操纵性指数：把模型压缩成两个数
Nomoto 一阶模型把复杂的响应关系简化为 T·ṙ + r = K·δ，其中 δ 为舵角，K 为回转性指数（增益，单位 1/s），T 为追随性指数（时间常数，单位 s）。K 越大，同样舵角下稳态回转角速度越大；T 越小，达到稳态越快。二阶模型 T₁T₂·r̈ + (T₁+T₂)·ṙ + r = K·(δ + T₃·δ̇) 则能更好描述大型船或高速船的初始响应滞后。这两个（或三个）参数可直接用于避碰中的转向预测：给定舵角和持续时间，就能估算新艏向与转向半径，进而判断避让是否及时。
以一艘 180 m 散货船的教学示例为例（数值为合理假设，非实测）：Z 形试验 10°/10° 得到 K ≈ 0.12 1/s、T ≈ 45 s。若在 14 kn（约 7.2 m/s）航速下打右满舵 20° 持续 60 s，用一阶模型可估算稳态转艏角速度 r_ss = K·δ ≈ 0.12 × 0.35 rad ≈ 0.042 rad/s（约 2.4°/s），60 s 内艏向变化约 100° 量级，回转直径约 0.5–0.7 n mile。这一量级直接决定了避碰时“提前多久转向”才来得及。
五、典型参数辨识方法：从试验数据到模型系数
辨识的基本思路是“构造输入—记录响应—最小化误差”。常用方法有三类：
- Z 形试验辨识 Nomoto 参数：记录舵角 δ(t) 与艏摇角速度 r(t)，对一阶模型做最小二乘拟合，或由稳态段求 K、由过渡段求 T。数据需先去除噪声与舵机延迟。
- 系统辨识（ARX/状态空间）：把三自由度模型写成离散状态空间形式，用递推最小二乘或极大似然估计水动力导数组合，适合有完整操舵与运动记录的场景。
- 回归/支持向量回归：当样本少或模型非线性强时，用机器学习方法拟合“操舵—响应”映射，但需注意外推风险，避免在训练域外给出不可信预测。
实操中应遵循的检查闭环是：先用一段试验数据辨识参数，再用另一段独立数据做验证，比较预测艏向与实际艏向的偏差；若偏差随时间发散，说明模型阶次或非线性项不足，应升级到二阶 Nomoto 或补充横荡耦合项。对避碰仿真评估而言，参数辨识的最终验收标准不是拟合优度多高，而是“用该模型预测的 DCPA 与实际航行结果的偏差是否在可接受范围内”。