4. 波束形成基本原理与常规波束形成器

波束形成的本质，是对阵列各阵元接收到的信号施加一组可控的复加权，使来自某个方向的信号同相叠加、来自其他方向的信号相互抵消或削弱，从而在空间上形成“指向性”。理解这一节，需要抓住三个层次：物理上的延迟求和、数学上的权向量设计，以及评价结果的波束图。三者构成从原理到实现的完整链条。

一、从几何延迟到延迟求和

先约定坐标系：以均匀直线阵（ULA）为例，阵元沿 x 轴等间距 d 排列，远场平面波以与阵列法线（阵列正前方）夹角 θ 入射，θ 称为方位角，法线方向为 0°。相邻阵元间的波程差为 Δr = d·sinθ，对应时延 τ = d·sinθ / c，c 为声速（水中约 1500 m/s）。

若入射方向为 θ₀，则第 n 个阵元（n = 0,1,…,N−1）相对参考阵元的时延为 τₙ = n·d·sinθ₀ / c。延迟求和（Delay-and-Sum, DAS）波束形成器对每个阵元先补偿这一时延，再求和：

y(t) = Σₙ xₙ(t + τₙ)          （连续时间形式）
y[k] = Σₙ xₙ[k + round(τₙ·fs)]  （离散采样形式）

补偿后，来自 θ₀ 的信号在各通道对齐、相干相加，幅度约为 N 倍；来自其他方向的信号因残余时延而部分抵消。这就是“延迟求和”名称的由来，也是常规波束形成器（Conventional Beamformer, CBF）的物理内核。

二、窄带近似与权向量设计

当信号为窄带（中心频率 f₀，波长 λ = c/f₀）时，时延可等效为相移：τₙ 对应相位 φₙ = −2πf₀τₙ = −2πn(d/λ)sinθ₀。于是 DAS 可写成复加权求和形式：

y = wᴴ x,   w = [1, e^{−j2π(d/λ)sinθ₀}, …, e^{−j2π(N−1)(d/λ)sinθ₀}]ᵀ

这里的 w 就是导向向量（steering vector），也称阵列流形向量。CBF 的权向量设计原则非常直接：权向量取期望方向的导向向量，即 w = a(θ₀)，使该方向增益归一化最大。若需保持无失真响应，可加约束 wᴴa(θ₀) = 1，此时 w = a(θ₀)/(aᴴ(θ₀)a(θ₀))，即归一化匹配权。

设计时有两个工程要点。其一是栅瓣：当阵元间距 d > λ/2 时，除主瓣外会出现与主瓣等高的栅瓣，导致方位模糊，因此通常取 d ≤ λ/2。其二是主瓣宽度：主瓣宽度近似与 λ/(N·d) 成正比，阵元数越多、孔径越大，主瓣越窄、分辨力越高，但旁瓣结构也随之变化。

三、波束图的定义与读图

波束图（Beam Pattern）描述阵列对单位强度平面波的响应随入射角的变化，定义为：

B(θ) = |wᴴ a(θ)|² / (wᴴw · aᴴ(θ)a(θ))   （归一化功率形式）
B_dB(θ) = 10·log₁₀ B(θ)

读图时关注四个量：主瓣指向（峰值所在角度，应等于设计指向 θ₀）、−3 dB 主瓣宽度（分辨力指标）、峰值旁瓣电平（PSL，抗干扰与抗混响能力指标）、栅瓣位置（是否存在模糊）。对 N 元均匀加权 ULA，第一旁瓣约 −13.2 dB，这是均匀加权 CBF 的经典特征。

四、CBF 仿真实现

下面给出一段可直接运行的 Python 示例，参数为教学假设：N = 16 元 ULA，f₀ = 3 kHz，c = 1500 m/s，d = λ/2 = 0.25 m，设计指向 θ₀ = 20°，扫描范围 −90°～90°。该示例用于演示流程与读图方法，结果数值随参数变化，并非实测数据。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N, f0, c = 16, 3000.0, 1500.0
lam = c / f0
d = lam / 2
theta0 = np.deg2rad(20)
scan = np.deg2rad(np.arange(-90, 91, 0.5))

def steering(theta):
    n = np.arange(N)
    return np.exp(-1j * 2 * np.pi * d / lam * n * np.sin(theta))

w = steering(theta0) / N          # 归一化匹配权
B = np.zeros_like(scan)
for i, th in enumerate(scan):
    a = steering(th)
    B[i] = np.abs(np.vdot(w, a))**2 / (np.vdot(w, w).real * np.vdot(a, a).real)

B_dB = 10 * np.log10(B + 1e-12)
plt.plot(np.rad2deg(scan), B_dB)
plt.xlabel('方位角 θ (°)'); plt.ylabel('归一化响应 (dB)')
plt.grid(True); plt.show()

实现中有三处容易出错。第一，导向向量的符号约定必须与波束图定义一致：若 a(θ) 用 e^{−j…}，则 w 取 a(θ₀) 的共轭转置作用于 x，即 y = wᴴx；符号反了会导致主瓣指向镜像到 −θ₀。第二，归一化分母要同时除以 wᴴw 与 aᴴa，否则不同角度下响应幅度不可比。第三，扫描步长过粗会漏掉主瓣峰值，建议不大于 0.5°。

五、结果判读与常见问题

运行上述代码后，应观察到：主瓣峰值出现在 20°，峰值归一化为 0 dB；第一旁瓣约 −13 dB；−3 dB 宽度约 6°～7°（随 N 与 d/λ 变化）。若主瓣出现在 −20°，说明导向向量符号约定与求和式不一致；若在 ±60° 附近出现与主瓣等高的峰，说明 d 超过 λ/2 产生了栅瓣；若旁瓣整体偏高，需检查是否误用了未归一化的权或阵列存在幅度误差。

把本节串起来看：几何时延决定了“往哪个方向对齐”，权向量把时延翻译成复加权，波束图则把权向量的效果可视化为主瓣、旁瓣与栅瓣。掌握这三者的对应关系，就能在仿真中通过改一个参数、看一处图形，快速定位问题所在。