📚 课程目录第2章均匀直线阵与均匀圆阵的几何建模

2. 均匀直线阵与均匀圆阵的几何建模

波束形成的全部数学推导，都建立在“阵元在哪里、信号从哪个方向来”这两个几何事实之上。几何建模的任务，就是把物理阵列抽象为一组可计算的坐标，并由此导出方向向量与阵列流形。本节以最常用的均匀直线阵（ULA）和均匀圆阵（UCA）为对象，把定义、约定与代码实现一次讲清。

一、坐标约定与阵元位置

建模前必须先固定参照系，否则后续所有相位符号都会混乱。本课程统一采用右手直角坐标系：阵列位于 xOy 平面内，z 轴指向阵列法向（正前方）；方位角 θ 从 z 轴量起（即与法向的夹角，0° 为正前方），俯仰/周向角 φ 在 xOy 平面内从 x 轴逆时针量起。远场平面波的单位方向向量为

u = [sinθ·cosφ, sinθ·sinφ, cosθ]ᵀ

对位于 p_m 的第 m 个阵元，相对参考阵元的时延为 τ_m = −p_mᵀu / c，对应窄带信号的空间相位为 ψ_m = −k·p_mᵀu，其中波数 k = 2π/λ。注意负号来自“信号先到达靠近来波方向的阵元”，这一符号约定在全文与图示中保持一致。

均匀直线阵：N 个阵元沿 x 轴等间距 d 排列，取首阵元为参考点，则 p_m = [(m−1)d, 0, 0]ᵀ，m = 1,…,N。此时 p_mᵀu = (m−1)d·sinθ·cosφ，若来波位于 xOz 平面（φ = 0），退化为熟悉的 (m−1)d·sinθ。为避免栅瓣，通常要求 d ≤ λ/2。

均匀圆阵：N 个阵元均匀分布在半径 r 的圆周上，第 m 个阵元的周向角为 φ_m = 2π(m−1)/N，位置为 p_m = [r·cosφ_m, r·sinφ_m, 0]ᵀ。UCA 没有“首阵元在轴上”的天然参考，通常取圆心为相位参考点，或取 0 号阵元为参考，二者只差一个公共相位因子，不影响波束形状，但会影响流形矩阵的具体数值，建模时必须声明。

二、方向向量与阵列流形

把 N 个阵元的空间相位排成列向量，就得到该方向上的方向向量（steering vector）：

a(θ, φ) = [e^{−jk·p₁ᵀu}, e^{−jk·p₂ᵀu}, …, e^{−jk·p_Nᵀu}]ᵀ

当方向 (θ, φ) 在感兴趣的空域内连续变化时，所有方向向量构成的集合 {a(θ, φ)} 称为阵列流形（array manifold）。它是阵列的“指纹”：ULA 的流形是一维曲线（只依赖 θ），UCA 的流形是二维曲面（依赖 θ 与 φ），这也是圆阵能实现全方位无模糊测向的几何根源。实际计算时通常把空域离散为网格，得到 N×L 的流形矩阵 A，其中 L 为网格点数。

对 ULA，若取 d = λ/2、φ = 0，则 a(θ) 的第 m 个元素为 exp(−jπ(m−1)sinθ)，这正是 Vandermonde 结构，可用 FFT 快速扫描；对 UCA，由于 p_mᵀu = r·sinθ·cos(φ−φ_m)，流形元素为 exp(−jkr·sinθ·cos(φ−φ_m))，它含有贝塞尔函数展开，不具备 Vandermonde 结构，因此 UCA 的波束形成通常需要显式构造流形矩阵或做模式空间变换。

三、MATLAB 与 Python 建模实现

下面给出可直接运行的建模函数。示例参数：工作频率 f = 3 kHz，声速 c = 1500 m/s，故 λ = 0.5 m；ULA 取 N = 8、d = 0.25 m（λ/2）；UCA 取 N = 8、r = 0.3 m。这些数值仅作教学示例。

% MATLAB: 构造 ULA 与 UCA 的阵元坐标与流形矩阵
c = 1500; f = 3000; lambda = c/f; k = 2*pi/lambda;

N = 8;
d = lambda/2;
p_ula = [(0:N-1)'*d, zeros(N,1), zeros(N,1)];      % N×3

r = 0.3;
phi_m = 2*pi*(0:N-1)'/N;
p_uca = [r*cos(phi_m), r*sin(phi_m), zeros(N,1)];  % N×3

theta = (0:1:90)*pi/180;  phi = 0;                  % 扫描网格
u = [sin(theta)*cos(phi); sin(theta)*sin(phi); cos(theta)];  % 3×L

A_ula = exp(-1j*k*(p_ula*u));   % N×L 流形矩阵
A_uca = exp(-1j*k*(p_uca*u));

# Python (NumPy): 等价的建模实现
import numpy as np
c, f = 1500.0, 3000.0
lam = c / f; k = 2 * np.pi / lam
N = 8

p_ula = np.column_stack([np.arange(N) * lam / 2,
                         np.zeros(N), np.zeros(N)])

phi_m = 2 * np.pi * np.arange(N) / N
p_uca = np.column_stack([0.3 * np.cos(phi_m),
                         0.3 * np.sin(phi_m),
                         np.zeros(N)])

theta = np.deg2rad(np.arange(0, 91, 1))
u = np.vstack([np.sin(theta), np.zeros_like(theta),
               np.cos(theta)])          # 3×L, phi=0

A_ula = np.exp(-1j * k * (p_ula @ u))   # N×L
A_uca = np.exp(-1j * k * (p_uca @ u))

代码中有三个容易出错的点值得强调。第一，矩阵乘法 p @ u 的结果是 N×L，每一列对应一个扫描方向，务必确认维度顺序，否则会把阵元维和角度维搞反。第二，相位符号必须与前面的时延定义一致；若把 exp(−j…) 写成 exp(+j…)，常规波束形成得到的谱峰位置会镜像翻转，在 θ 接近 0° 时不易察觉，在大角度时误差明显。第三，UCA 的参考点选择要与后续导向矢量、协方差矩阵处理保持一致，混用圆心参考与 0 号阵元参考会引入随阵元编号变化的附加相位。

四、结果检查与常见问题

建模完成后不要急于做波束图，先做两项自检。其一，检查 a(0°) 是否全为 1：正前方来波时各阵元等相位，这是最直接的符号与参考点校验。其二，对 ULA 检查相邻阵元相位差是否等于 −π·sinθ（d = λ/2 时），例如 θ = 30° 应得到 −π/2。若这两项通过，流形矩阵基本可信。

常见问题包括：阵元坐标用了行向量导致广播错误；角度单位混用度与弧度；UCA 半径取得过小导致有效孔径不足、分辨力下降，或取得过大在宽频带内出现空间混叠。工程上 UCA 的半径常按最高工作频率的波长选取，使 r/λ 落在合适区间，兼顾孔径与无模糊测向。把这些几何参数与流形矩阵的构造固定成可复用函数，后续的协方差估计、常规波束形成与高分辨算法才能在同一套几何约定下稳定衔接。