4. 检测统计量构建与虚警率定义
声呐接收机面对的从来不是“干净的回波”，而是目标回波、混响、环境噪声与干扰叠加后的时间序列。要把“有没有目标”这个物理问题转化为可计算的判决问题，第一步是构造一个检测统计量——一个把整段观测数据压缩成单个标量的函数。这个标量在纯噪声下服从某种分布，在目标存在时分布发生偏移，检测性能就取决于这两种分布的重叠程度。
匹配滤波：把已知波形能量集中起来
主动声呐发射的是已知波形 s(t)，接收信号可写为 r(t)=A·s(t−τ)·e^{j2πf_d t}+n(t)，其中 A 为回波幅度、τ 为时延、f_d 为多普勒频移、n(t) 为噪声。匹配滤波器的冲激响应取发射信号的时间反转共轭 h(t)=s*(T−t)，其输出为
y(τ) = ∫ r(t)·s*(t−τ) dt在离散实现中，这就是接收序列与参考副本的互相关。若采样率 fs=48 kHz、发射脉宽 T=50 ms，则副本长度 N=T·fs=2400 点，每个搜索时延格点做一次 N 点乘加，输出是一条随 τ 变化的互相关序列。匹配滤波的关键性质是：在白噪声背景下，它使输出信噪比达到最大，等于 2E/N₀（E 为信号能量，N₀ 为噪声单边功率谱密度）。因此工程上常把匹配滤波输出直接作为检测统计量的输入，而不是对原始采样逐点判决。
实际实现要注意三点：一是参考副本必须与发射波形严格一致，包括加权窗和调频斜率；二是多普勒失配会使相关峰展宽、峰值下降，通常需要一组不同 f_d 的副本构成多普勒滤波器组；三是混响背景下匹配滤波输出并非白噪声，相关峰旁瓣会抬高背景，需配合加权（如汉明窗）抑制旁瓣，代价是主瓣展宽、时延分辨率略降。
检测统计量的概率分布
设匹配滤波输出在某个时延格点上的复值为 z，取包络（或平方律）作为检测统计量：
T = |z|² （平方律检波）
或 T = |z| （线性检波）在纯噪声假设 H₀ 下，若 z 的实部与虚部为独立零均值高斯变量、方差 σ²，则 |z| 服从瑞利分布，T=|z|² 服从参数为 2σ² 的指数分布：
p(T|H₀) = (1/λ)·exp(−T/λ), λ = 2σ²在目标存在假设 H₁ 下，z 含确定性分量（幅度 A、相位随机），|z| 服从莱斯分布，T 服从非中心指数分布，非中心参数与 A²/σ² 即输出信噪比相关。这一对分布（H₀ 指数、H₁ 非中心指数）是声呐包络检测的经典模型，也是后续所有门限设计的出发点。需要强调：若做了多普勒滤波器组取最大值、或多帧积累，统计量的分布会改变（如取最大值后 H₀ 分布不再是简单指数），门限必须按实际处理链重新推导，不能照搬单格点公式。
虚警概率与检测概率的数学定义
给定判决门限 V_T，两类概率定义为：
虚警概率 Pfa = P(T > V_T | H₀) = ∫_{V_T}^{∞} p(T|H₀) dT
检测概率 Pd = P(T > V_T | H₁) = ∫_{V_T}^{∞} p(T|H₁) dT对指数分布，虚警概率有闭式解 Pfa = exp(−V_T/λ)，反解得门限 V_T = −λ·ln(Pfa)。这就是工程上“由虚警率定门限”的直接依据。例如要求单格点 Pfa=10⁻⁴，则 V_T=9.21λ；若 λ 由噪声功率估计得到，门限即随噪声水平自适应浮动，这正是恒虚警（CFAR）处理的核心思想。检测概率则依赖 H₁ 分布的非中心参数，输出信噪比越高，Pd 越接近 1。
ROC 曲线与检测性能评估
把门限 V_T 从 0 扫到无穷大，每一门限对应一对 (Pfa, Pd)，在 Pfa 为横轴、Pd 为纵轴的平面上连成的曲线即接收机工作特性（ROC）曲线。ROC 曲线与门限无关，只由 H₀、H₁ 两分布的可分离程度决定，因此它是评估检测器本身性能的“指纹”。曲线越靠近左上角越好；对角线 Pd=Pfa 表示检测器无信息量。工程上常用两个标量概括：一是给定 Pfa 下的 Pd（如 Pfa=10⁻⁴ 时 Pd 是否达到 0.9），二是达到给定 Pd 所需的输出信噪比。
下图给出本节处理链与分布关系的整体视图：从接收信号经匹配滤波得到相关序列，取包络形成统计量，在 H₀/H₁ 两种假设下分别形成指数与非中心指数分布，再由门限切分出 Pfa 与 Pd，最终映射为 ROC 曲线。
评估时要注意，理论 ROC 假设噪声平稳且分布已知，而真实声呐数据中混响统计随距离、海底底质、海况变化，实际 Pfa 往往高于设计值。因此工程上除了画理论 ROC，还要用实测噪声段做“虚警计数”验证：取一段确认无目标的距离-方位区域，统计超过门限的格点数除以总格点数，与设计 Pfa 对比。若实测虚警率明显偏高，优先检查噪声功率估计是否滞后、参考副本是否失配、以及是否存在未被建模的强干扰。
把上述环节串起来，检测统计量构建的本质是“用匹配滤波把信号能量集中、用包络检波把复相关变成实标量、用分布模型把标量与门限联系起来”。虚警率不是事后统计出来的数字，而是在门限设定时由 H₀ 分布直接决定的参数；检测概率则由 H₁ 分布与门限共同决定。理解这两条分布曲线如何随信噪比移动，就能在给定虚警约束下合理选择积累帧数、多普勒组数和门限策略，而不是靠反复调参碰运气。