2. 基于Ziegler-Nichols临界比例度的推进转速环PID初整定

临界比例度法的操作逻辑与判据

Ziegler-Nichols 临界比例度法（Ultimate Gain Method）的核心是：把转速环控制器先退化为纯比例环节，逐步增大比例增益 Kp，直到闭环系统出现等幅振荡。此时的比例增益记为临界增益 Ku，对应的振荡周期记为临界周期 Tu。再用经验公式换算出 PID 初值。

本案例的仿真对象为推进电机转速闭环：给定转速指令 n_ref（r/min），控制器输出为转矩指令 T_cmd（N·m），被控对象为电机电磁转矩环节与螺旋桨负载惯量环节串联。为便于复现，采用如下离散仿真模型（采样周期 Ts = 0.01 s）：

% 推进转速环临界比例度法整定（示例参数，非实测）
Ts = 0.01;  T_end = 30;
t = 0:Ts:T_end;

% 被控对象：一阶惯性 + 积分型机械环节（简化等效）
K_motor = 1.8;      % 转矩-转速增益 (r/min)/N·m
tau_e   = 0.25;     % 电磁时间常数 s
J_eq    = 0.06;     % 等效转动惯量 kg·m^2

% 纯比例控制下的闭环仿真函数
function [n, osc] = simP(Kp, Ts, T_end, K_motor, tau_e, J_eq)
    N = round(T_end/Ts);
    n = zeros(1,N); w = 0; Tq = 0;
    n_ref = 100;                 % 阶跃指令 r/min
    for k = 2:N
        e = n_ref - n(k-1);
        T_cmd = Kp * e;          % 纯比例
        Tq = Tq + Ts/tau_e*(T_cmd - Tq);   % 电磁转矩一阶滞后
        w  = w + Ts/J_eq*(Tq - 0.02*w);    % 机械环节（含阻尼）
        n(k) = K_motor * w;
    end
    % 用后 1/3 段判断等幅振荡
    seg = n(round(2*N/3):end);
    osc = max(seg) - min(seg);
end

扫描 Kp 时观察后段峰峰值 osc：osc 随 Kp 增大由衰减转为发散，其间存在一个使 osc 基本恒定的临界点。下表为示例扫描记录（教学示例数据，用于说明判读方法）：

取 Ku ≈ 2.6，从等幅振荡波形量取相邻同向峰值间隔得 Tu ≈ 1.1 s。按 Z-N 临界比例度公式计算 PID 初值：

Ku = 2.6;  Tu = 1.1;
Kp0 = 0.6 * Ku;          % = 1.56
Ti0 = 0.5 * Tu;          % = 0.55 s
Td0 = 0.125 * Tu;        % = 0.1375 s
Ki0 = Kp0 / Ti0;         % ≈ 2.836
Kd0 = Kp0 * Td0;         % ≈ 0.2145

将 Kp0/Ki0/Kd0 代入同一闭环模型做阶跃仿真，与纯比例临界状态对比：Z-N 初值通常超调偏大（示例约 25%~40%），调节时间明显缩短，属于“可用但需再微调”的起点，而非最终参数。

判读要点与常见偏差

• 等幅判据：不要只看前几个周期。应取仿真后 1/3 段的峰峰值，若相邻周期峰峰值差异小于约 5%，可视为等幅；若持续增大即为发散，需回退 Kp。
• Tu 量取：取相邻两个同向峰值（如两个波峰）的时间间隔，而不是峰到谷。示例中波峰间隔约 1.1 s。
• Z-N 初值偏激进：临界比例度法给出的 PID 通常超调较大，工程上常把 Kp 再乘 0.8~0.9、Ki 适当减小，作为后续手动微调的起点。
• 模型依赖：Ku/Tu 只对当前仿真模型有效；若电机时间常数、等效惯量或负载阻尼改变，需重新扫描。