3. 误差传递基础：误差传递公式、线性误差传递、非线性误差传递、协方差传播律
在精密计量与公差分析中，我们通常无法直接测量最终的性能指标（如装配间隙、机构末端位移），而是通过测量多个独立或相关的输入量（如零件尺寸、角度、材料属性），再经由函数关系计算出目标量。输入量的误差会通过函数关系“传递”到输出量，这一过程即为误差传递。本章将系统阐述误差传递的数学基础，包括线性与非线性情形下的传递公式，以及处理相关输入量的协方差传播律。
3.1 误差传递的基本概念与通用公式
设目标量 \( y \) 是 \( n \) 个输入量 \( x_1, x_2, \dots, x_n \) 的函数：
y = f(x₁, x₂, ..., xₙ)若各输入量的测量误差 \( \Delta x_i \) 较小，且函数 \( f \) 在测量点附近连续可微，则输出量的误差 \( \Delta y \) 可通过一阶泰勒展开近似得到：
Δy ≈ (∂f/∂x₁)·Δx₁ + (∂f/∂x₂)·Δx₂ + ... + (∂f/∂xₙ)·Δxₙ其中 \( \partial f / \partial x_i \) 为灵敏度系数（sensitivity coefficient），表示第 \( i \) 个输入量的单位误差对输出量的影响程度。该公式是误差传递的一阶近似基础，适用于大多数工程计量场景。
3.2 线性误差传递
当函数 \( f \) 为线性函数时，误差传递公式具有精确的解析形式。线性函数可表示为：
y = a₀ + a₁·x₁ + a₂·x₂ + ... + aₙ·xₙ其中 \( a_i \) 为常数系数。此时灵敏度系数即为 \( a_i \) 本身，输出误差为：
Δy = a₁·Δx₁ + a₂·Δx₂ + ... + aₙ·Δxₙ在实际工程中，我们更关心误差的统计特性。若各输入误差相互独立，且已知其标准差 \( \sigma_{x_i} \)，则输出量的方差为：
σ²(y) = a₁²·σ²(x₁) + a₂²·σ²(x₂) + ... + aₙ²·σ²(xₙ)输出量的标准差（即合成标准不确定度）为：
σ(y) = √[ Σ (aᵢ²·σ²(xᵢ)) ]下表总结了常见线性函数形式的误差传递公式：
| 函数形式 | 输出误差 Δy | 输出方差 σ²(y) |
|---|---|---|
| \( y = x_1 + x_2 \) | \( \Delta x_1 + \Delta x_2 \) | \( \sigma^2(x_1) + \sigma^2(x_2) \) |
| \( y = x_1 - x_2 \) | \( \Delta x_1 - \Delta x_2 \) | \( \sigma^2(x_1) + \sigma^2(x_2) \) |
| \( y = a \cdot x \) | \( a \cdot \Delta x \) | \( a^2 \cdot \sigma^2(x) \) |
| \( y = a_1 x_1 + a_2 x_2 \) | \( a_1 \Delta x_1 + a_2 \Delta x_2 \) | \( a_1^2 \sigma^2(x_1) + a_2^2 \sigma^2(x_2) \) |
3.3 非线性误差传递
当函数 \( f \) 为非线性时，灵敏度系数 \( \partial f / \partial x_i \) 不再是常数，而是随输入量取值变化。此时误差传递需在测量点处进行局部线性化，即用该点的偏导数值作为近似灵敏度系数。
对于非线性函数 \( y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) \)，输出误差的一阶近似为：
Δy ≈ (∂f/∂x₁)|₀ · Δx₁ + (∂f/∂x₂)|₀ · Δx₂ + ... + (∂f/∂xₙ)|₀ · Δxₙ其中下标“₀”表示偏导数在输入量名义值（或测量均值）处取值。输出方差的一阶近似为：
σ²(y) ≈ (∂f/∂x₁)₀² · σ²(x₁) + (∂f/∂x₂)₀² · σ²(x₂) + ... + (∂f/∂xₙ)₀² · σ²(xₙ)下表列出了常见非线性函数的灵敏度系数与方差传递公式：
| 函数形式 | 灵敏度系数 | 输出方差 σ²(y) |
|---|---|---|
| \( y = x_1 \cdot x_2 \) | \( x_2,\; x_1 \) | \( x_2^2 \sigma^2(x_1) + x_1^2 \sigma^2(x_2) \) |
| \( y = x_1 / x_2 \) | \( 1/x_2,\; -x_1/x_2^2 \) | \( \frac{\sigma^2(x_1)}{x_2^2} + \frac{x_1^2 \sigma^2(x_2)}{x_2^4} \) |
| \( y = \sin(x) \) | \( \cos(x) \) | \( \cos^2(x) \cdot \sigma^2(x) \) |
| \( y = \ln(x) \) | \( 1/x \) | \( \sigma^2(x) / x^2 \) |
| \( y = x^n \) | \( n \cdot x^{n-1} \) | \( n^2 \cdot x^{2n-2} \cdot \sigma^2(x) \) |
3.4 协方差传播律
当输入量之间存在相关性时，误差传递不能简单使用方差平方和公式，必须引入协方差项。协方差传播律（Law of Propagation of Covariance）是处理相关输入误差的通用框架。
对于线性函数 \( \mathbf{y} = \mathbf{A} \mathbf{x} \)（向量形式），输出量的协方差矩阵 \( \mathbf{\Sigma}_y \) 与输入量的协方差矩阵 \( \mathbf{\Sigma}_x \) 满足：
Σ_y = A · Σ_x · Aᵀ其中 \( \mathbf{A} \) 为灵敏度系数矩阵（雅可比矩阵）。对于单个输出量 \( y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) \)，考虑输入量相关时的方差公式为：
σ²(y) = Σᵢ (∂f/∂xᵢ)² · σ²(xᵢ) + 2 · Σᵢ<ⱼ (∂f/∂xᵢ)(∂f/∂xⱼ) · cov(xᵢ, xⱼ)其中 \( \text{cov}(x_i, x_j) \) 为输入量 \( x_i \) 与 \( x_j \) 的协方差。引入相关系数 \( \rho_{ij} = \text{cov}(x_i, x_j) / (\sigma_{x_i} \sigma_{x_j}) \)，公式可改写为：
σ²(y) = Σᵢ (∂f/∂xᵢ)² · σ²(xᵢ) + 2 · Σᵢ<ⱼ (∂f/∂xᵢ)(∂f/∂xⱼ) · ρᵢⱼ · σ(xᵢ) · σ(xⱼ)下表总结了不同相关性情形下的误差合成规则：
| 输入相关性 | 协方差项符号 | 对合成误差的影响 | 典型场景 |
|---|---|---|---|
| 独立（\( \rho = 0 \)） | 为零 | 平方和开方（RSS） | 不同仪器独立测量 |
| 正相关（\( \rho > 0 \)） | 正 | 合成误差增大 | 同一量具多次测量 |
| 负相关（\( \rho < 0 \)） | 负 | 合成误差减小 | 差分测量、共模误差抵消 |
| 完全相关（\( |\rho| = 1 \)） | ±乘积项 | 线性代数和或差 | 系统误差完全传递 |
3.5 协方差传播律的工程应用步骤
在实际计量与公差分析中，应用协方差传播律通常遵循以下步骤：
- 建立函数关系： 明确输出量 \( y \) 与各输入量 \( x_i \) 的数学表达式。
- 计算灵敏度系数： 求偏导数 \( \partial f / \partial x_i \) 并在名义点处赋值。
- 获取输入不确定度与相关性： 通过实验、校准证书或经验估计各输入量的标准差及相关系数。
- 构建协方差矩阵： 将标准差与相关系数组织为完整的协方差矩阵 \( \mathbf{\Sigma}_x \)。
- 应用传播公式： 使用 \( \sigma^2(y) = \mathbf{c}^T \mathbf{\Sigma}_x \mathbf{c} \)（其中 \( \mathbf{c} \) 为灵敏度系数列向量）计算输出方差。
- 结果表达： 输出合成标准不确定度 \( u_c(y) = \sigma(y) \)，并根据需要扩展为包含概率的扩展不确定度。
误差传递基础是误差预算与公差分析的核心数学工具。掌握线性与非线性传递公式、理解协方差传播律，能够帮助工程师在制品设计阶段准确预测最终性能指标的误差范围，从而合理分配各零部件的公差，实现成本与质量的平衡优化。