第三章 机器人运动学基础：位姿、变换与坐标系

做手眼标定，说白了就是让机器人的眼睛（相机）和手（机械臂）能对上话。但对话之前，你得先懂机器人的“语言”——运动学。这一章，我就带你把这些基础概念捋清楚。

3.1 机器人位姿表示：X, Y, Z, Rx, Ry, Rz

机器人在空间里，不光要知道它在哪（位置），还得知道它脸朝哪（姿态）。合起来就叫“位姿”。

位置很好理解，就是三维空间里的 (X, Y, Z) 坐标。姿态呢？我们常用绕三个轴的旋转角度来表示：Rx（绕X轴转，也叫翻滚 Roll）、Ry（绕Y轴转，也叫俯仰 Pitch）、Rz（绕Z轴转，也叫偏航 Yaw）。

这六个值，就是机器人最常用的位姿描述方式。我刚开始接触时，总搞混旋转顺序。后来发现，大部分工业机器人默认是 Z-Y-X 的旋转顺序，也就是先转 Rz，再转 Ry，最后转 Rx。顺序不同，结果天差地别。

3.2 齐次变换矩阵：把位姿算清楚

光有六个值还不够，计算机算起来不方便。所以，我们引入了齐次变换矩阵。它是一个 4x4 的矩阵，把旋转和平移整合在一起。

结构长这样：

| R11 R12 R13 Tx |
| R21 R22 R23 Ty |
| R31 R32 R33 Tz |
| 0   0   0   1  |

左上角 3x3 是旋转矩阵，右上角 3x1 是平移向量。最后一行永远是 [0, 0, 0, 1]。为什么加这一行？为了把连续的坐标变换写成矩阵乘法，方便计算机批量计算。

举个例子，从机器人基座到末端的变换，可以写成：

Base_T_Tool = Base_T_J1 * J1_T_J2 * ... * J6_T_Tool

每个关节的变换矩阵乘起来，就是末端位姿。这就是正运动学的核心。

3.3 正运动学与逆运动学

这两个概念，你肯定听过。我简单说说我的理解。

• 正运动学： 知道每个关节的角度，求末端位姿。这是确定的，一个输入对应一个输出。
• 逆运动学： 知道末端位姿，反推每个关节的角度。这是多解的，同一个位姿可能有多种“姿势”到达。

我在项目里遇到过一个问题：标定完手眼关系后，机器人怎么都走不到目标点。后来发现，是逆运动学选了解析解里最远的那组关节角，导致机器人差点撞到工作台。从那以后，我每次做逆解，都会检查所有可行解，选最安全的那组。

3.4 工具坐标系与工件坐标系

这两个坐标系，是手眼标定的关键。

• 工具坐标系 (Tool Frame)： 固定在机器人末端执行器（比如夹爪、焊枪）上的坐标系。它的原点，通常是工具的有效工作点（TCP, Tool Center Point）。
• 工件坐标系 (Work Object Frame)： 固定在待加工工件上的坐标系。程序里写的点位，都是相对于这个坐标系的。

为什么要区分？因为机器人移动的是工具，而我们要操作的是工件。标定的目的，就是让相机看到的工件位置，能准确映射到机器人工具的运动轨迹上。

举个例子：你让机器人去抓一个螺丝。相机告诉你螺丝在 (100, 200, 50) 毫米处。但这个坐标是相对于相机坐标系的。你需要通过手眼标定矩阵，把它转换到机器人基坐标系下，再结合工具坐标系，算出每个关节该转多少度。

3.5 知识结构图：坐标系与变换关系

下面这张图，是我自己总结的坐标系变换链路。你看完应该能明白，各个坐标系之间是怎么串起来的。

3.6 本章小结

这一章，我们聊了机器人的“语言”——位姿、齐次变换矩阵、正逆运动学，还有工具和工件坐标系。这些都是手眼标定的地基。你想想看，如果连坐标系都搞混，标定出来的矩阵肯定不准。