4. 手眼标定问题建模：Eye-in-Hand vs Eye-to-Hand、AX=XB方程推导、未知量定义
手眼标定的核心是求解机器人末端执行器（或基座）与相机之间的固定空间变换关系。根据相机安装位置的不同，标定问题分为两种经典构型：Eye-in-Hand（眼在手上）和Eye-to-Hand（眼在手外）。两种构型虽然物理布局不同，但最终都归结为求解同一形式的矩阵方程 AX = XB。
4.1 两种构型对比
| 对比维度 | Eye-in-Hand（眼在手上） | Eye-to-Hand（眼在手外） |
|---|---|---|
| 相机安装位置 | 固定在机器人末端法兰盘上，随机械臂运动 | 固定在工作空间外部，不随机械臂运动 |
| 标定物位置 | 标定板固定在工作空间内（静止） | 标定板固定在机器人末端法兰盘上（随动） |
| 待求变换 | 相机坐标系 → 末端坐标系（X） | 相机坐标系 → 机器人基坐标系（X） |
| 方程形式 | A · X = X · B | A · X = X · B |
| 典型应用 | 移动抓取、焊缝跟踪、装配 | 固定工位视觉定位、大范围检测 |
关键区别：两种构型中，X 的物理含义不同，但方程形式完全一致。Eye-in-Hand 求解的是相机相对于末端的位姿；Eye-to-Hand 求解的是相机相对于机器人基座的位姿。
4.2 坐标系定义与变换链
为统一描述，定义以下坐标系：
- {B} — 机器人基坐标系（Base）
- {E} — 机器人末端坐标系（End-effector）
- {C} — 相机坐标系（Camera）
- {O} — 标定板/目标物坐标系（Object）
每次移动机械臂到不同位姿，记录两组数据：
- 机器人正运动学：末端相对于基座的变换矩阵 TE→B（或 TB→E）
- 相机外参估计：标定板相对于相机的变换矩阵 TO→C
4.3 AX = XB 方程推导
以 Eye-in-Hand 构型为例，推导过程如下：
- 建立闭环约束：从基座 {B} 出发，经过末端 {E}、相机 {C}，到达标定板 {O}，再回到基座 {B}，构成一个闭环。
- 写出变换链：
其中 TE→C 即为待求的 X。TB→E · TE→C · TC→O · TO→B = I - 整理方程：将已知量移到一侧，未知量移到另一侧。取两次不同位姿（i 和 j），消去固定不变的 TO→B，得到：
(TB→Ej)-1 · TB→Ei · X = X · (TC→Oj · (TC→Oi)-1) - 定义 A 和 B：
于是得到经典方程：A · X = X · B。A = (TB→Ej)-1 · TB→Ei B = TC→Oj · (TC→Oi)-1
物理含义：A 表示机器人末端从位姿 i 到位姿 j 的相对运动；B 表示相机观察到的标定板从位姿 i 到位姿 j 的相对运动。方程要求：经过 X 变换后，这两个相对运动应当一致。
4.4 未知量定义与分解
变换矩阵 X 是 4×4 齐次变换矩阵，包含旋转和平移两部分：
X = [ R t ]
[ 0 1 ]
其中：
R ∈ SO(3) — 3×3 旋转矩阵（3 个自由度）
t ∈ ℝ³ — 3×1 平移向量（3 个自由度）
因此，X 共有 6 个自由度（3 旋转 + 3 平移）。方程 AX = XB 可拆解为：
| 分量方程 | 形式 | 自由度 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 旋转部分 | RA · R = R · RB | 3 | 先求解旋转矩阵，通常使用轴角、四元数或罗德里格斯公式 |
| 平移部分 | RA · t + tA = R · tB + t | 3 | 旋转解出后，平移为线性方程，可直接求解 |
注意：旋转部分求解是手眼标定的核心难点。由于旋转矩阵的非线性约束（正交性、行列式为 +1），不能直接使用线性最小二乘。常用解法包括：Tsai-Lenz 两步法、Park-Martin 法、基于四元数的线性化方法等。
4.5 方程可解性条件
要唯一确定 X 的 6 个自由度，至少需要：
- 2 组 非退化的运动对（即至少 3 个不同位姿，形成 2 个独立的 A 和 B 对）
- 每次运动的旋转轴不能平行，否则旋转部分欠约束
- 每次运动的平移分量不能全为零，否则平移部分无法求解
4.6 本章小结
- Eye-in-Hand 与 Eye-to-Hand 虽然物理构型不同，但都归结为 AX = XB 方程。
- 方程来源于闭环变换链约束，通过两次不同位姿消去固定变换得到。
- 未知量 X 包含 6 个自由度（3 旋转 + 3 平移），求解时先解旋转再解平移。
- 至少需要 3 个非退化位姿才能唯一确定 X。