4. 相机标定基础：张正友标定法、内参矩阵、畸变系数、标定板设计
相机标定是3D线扫测量系统的几何基石。标定的本质是求解从三维世界坐标到二维像素坐标的投影映射关系，并校正镜头畸变带来的非线性误差。本章围绕张正友标定法展开，系统讲解内参矩阵、畸变系数以及标定板的设计原则。
4.1 张正友标定法核心流程
张正友标定法（Zhang’s Method）是目前最广泛使用的平面标定方法，仅需拍摄多张不同姿态的棋盘格图像即可完成标定。其核心思想是利用棋盘格平面上的已知角点坐标，通过单应性矩阵（Homography）约束，逐步求解相机内参和外参。
关键步骤：
- 角点检测：提取每张图像中棋盘格的内角点亚像素坐标。
- 计算单应性矩阵：对每张图像，建立世界平面（Z=0）与像素平面之间的单应性矩阵 H。
- 求解内参：利用旋转矩阵的正交约束，从多张图像的 H 矩阵中线性求解内参矩阵 K 的封闭解。
- 求解外参：根据内参和 H 矩阵，计算每张图像的旋转矩阵 R 和平移向量 t。
- 非线性优化：使用 Levenberg-Marquardt 算法对所有参数（内参、外参、畸变系数）进行全局优化，最小化重投影误差。
4.2 内参矩阵（Intrinsic Matrix）
内参矩阵 K 描述了相机坐标系到像素坐标系的投影变换，是标定的核心输出之一。其标准形式为：
K = [ fx 0 cx ]
[ 0 fy cy ]
[ 0 0 1 ]| 参数 | 物理含义 | 单位 | 典型值范围（线扫相机） |
|---|---|---|---|
| fx, fy | x 和 y 方向的等效焦距（像素单位） | pixel | 数千 ~ 数万 |
| cx, cy | 主点（光轴与像平面交点）的像素坐标 | pixel | 图像中心附近 |
| skew (s) | 像素轴倾斜因子（现代相机通常为 0） | — | 0 |
线扫相机特殊说明：线扫相机的内参矩阵通常只包含 fx 和 cx（单行像素），fy 由扫描运动步长决定。在3D线扫系统中，常将线扫模型简化为“针孔模型 + 运动方向标定”，此时 fy 由编码器脉冲当量换算得到。
4.3 畸变系数（Distortion Coefficients）
镜头畸变会导致实际像素坐标偏离理想针孔模型。标定中主要校正两类畸变：
- 径向畸变（Radial Distortion）：由镜头曲面引起，图像边缘弯曲明显。用 k1, k2, k3 表示。
- 切向畸变（Tangential Distortion）：由镜头与像平面不平行引起。用 p1, p2 表示。
畸变校正公式（OpenCV 标准模型）：
x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + 2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y其中 (x, y) 为归一化平面坐标，r² = x² + y²。
| 系数 | 类型 | 典型量级 | 对测量影响 |
|---|---|---|---|
| k1 | 径向（二阶） | 10⁻¹ ~ 10⁻³ | 主导畸变，边缘误差可达数十像素 |
| k2 | 径向（四阶） | 10⁻² ~ 10⁻⁴ | 修正边缘高阶弯曲 |
| k3 | 径向（六阶） | 10⁻³ ~ 10⁻⁵ | 仅用于大畸变镜头（如鱼眼） |
| p1, p2 | 切向 | 10⁻³ ~ 10⁻⁴ | 梯形/平行四边形畸变 |
精度警示：在3D线扫系统中，畸变校正不彻底会直接导致重建点云产生“桶形”或“枕形”系统性误差。建议标定后使用重投影误差（RMS）评估校正质量，RMS 应小于 0.1 像素。
4.4 标定板设计原则
标定板的质量直接影响标定精度。对于四相机3D线扫系统，标定板设计需遵循以下原则：
- 图案类型：优先使用棋盘格（Checkerboard）或圆点阵列（Circle Grid）。棋盘格角点检测精度高，圆点阵列对离焦模糊更鲁棒。
- 尺寸与精度：标定板物理尺寸需覆盖相机视场的 1/3 ~ 2/3；方格/圆点间距加工公差应优于 ±0.01 mm。
- 基板材料：使用陶瓷或低热膨胀系数玻璃基板，避免温度变化导致形变。
- 姿态多样性：拍摄时标定板应覆盖视场各个区域，并倾斜 15° ~ 45°，以提供足够的深度约束。
- 数量要求：建议拍摄 15 ~ 25 张不同姿态的图像，图像过少会导致内参解算不稳定。
4.5 标定质量评估指标
标定完成后，必须通过量化指标评估标定质量，确保后续3D重建的精度基础：
| 指标 | 定义 | 合格阈值 | 不合格处理 |
|---|---|---|---|
| 重投影误差（RMS） | 角点检测坐标与重投影坐标的均方根误差 | < 0.1 pixel | 剔除误差大的图像，重新标定 |
| 内参稳定性 | 多次标定结果的 fx, fy, cx, cy 标准差 | < 0.5% | 检查标定板平面度或光照一致性 |
| 畸变系数置信度 | 畸变系数的标准差与均值之比 | < 20% | 增加图像数量或调整标定板姿态 |
| 外参一致性 | 不同图像间旋转矩阵的正交性偏差 | < 0.01° | 检查标定板是否发生弯曲 |
工程建议：在四相机系统中，每个相机应独立标定，然后通过共视标定板进行联合外参标定。标定完成后，使用标准量块（如陶瓷块规）在视场不同位置进行验证测量，确保精度满足系统要求。