4. 相机成像模型：针孔相机模型、内参矩阵、畸变模型

做机器视觉这么多年，我始终觉得相机成像模型是绕不开的基石。你想想看，手眼标定说白了就是让机器人知道相机看到的物体在什么位置。如果连相机怎么成像的都不清楚，那后面的标定工作就是空中楼阁。

这一章，我们就来把相机成像这件事彻底讲透。我会从最经典的针孔模型开始，然后带你理解内参矩阵，最后把畸变模型也掰开揉碎。嗯，这些概念在 HALCON 里都有对应的算子，理解了原理，你写代码的时候心里就有底了。

4.1 针孔相机模型：最朴素的成像原理

针孔相机模型，说白了就是小孔成像。你小时候可能玩过：一个暗盒，前面戳个小孔，外面的景物就倒着映在后面的墙上。相机镜头虽然复杂，但核心思想是一样的——把三维世界投影到二维平面上。

我个人习惯把针孔模型拆成三个坐标系来看：

• 世界坐标系：物体在真实世界中的位置，单位是毫米或米
• 相机坐标系：以相机光心为原点，Z轴指向镜头前方
• 图像坐标系：成像平面上的像素位置，单位是像素

从世界坐标到像素坐标，中间经历了两次变换。第一次是刚体变换（旋转+平移），把世界坐标转到相机坐标系。第二次是透视投影，把三维点映射到成像平面上。

我在项目中遇到过不少新手，上来就问为什么标定板要倾斜着拍。其实原因很简单：针孔模型假设所有光线都穿过光心，如果标定板始终正对着相机，那很多参数就解不出来了。你想想看，一个平面正对着相机，它提供的约束其实很少。

4.2 内参矩阵：从物理世界到像素的桥梁

内参矩阵，我更喜欢叫它"相机自己的身份证"。每个相机都有自己独特的内参，包括焦距、主点位置、像素尺寸等。这些参数一旦固定，只要不调焦、不换镜头，就不会变。

内参矩阵通常写成 3x3 的形式：

     [ fx  0  cx ]
K =  [  0 fy  cy ]
     [  0  0   1 ]

这里面的参数含义：

参数	含义	单位
fx, fy	焦距在 x、y 方向的像素当量	像素
cx, cy	主点坐标（光轴与成像平面的交点）	像素

为什么 fx 和 fy 可能不一样？因为像素不一定是正方形的。我见过一些工业相机，像素是矩形的，这时候 fx 和 fy 就会有差异。另外，cx 和 cy 也不一定在图像正中心，这跟镜头安装精度有关。

有了内参矩阵，我们就可以把相机坐标系下的点映射到像素坐标了。整个过程可以写成：

像素坐标 = K * [R|t] * 世界坐标

其中 [R|t] 是外参矩阵，负责把世界坐标转到相机坐标系。这个公式，就是整个视觉定位的数学基础。

4.3 畸变模型：现实世界没有完美的镜头

理想很丰满，现实很骨感。针孔模型假设镜头是完美的，但实际镜头都有畸变。你拍一张棋盘格照片，如果发现边缘的格子变弯了，那就是畸变在作怪。

畸变主要分两种：径向畸变和切向畸变。我一个个说。

4.3.1 径向畸变：镜头天生的"肚子"

径向畸变是因为镜头的曲率不完美造成的。离光心越远，畸变越明显。它有两种表现形式：

• 桶形畸变：图像向外凸出，像桶一样。广角镜头常见。
• 枕形畸变：图像向内凹陷，像枕头。长焦镜头常见。

数学上，径向畸变用三个参数来描述：k1、k2、k3。其中 k1 是主要畸变，k2 和 k3 用来修正边缘区域的畸变。校正公式是：

x_corrected = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_corrected = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

这里的 r 是像素点到光心的距离。你看，r 越大，畸变越严重。

4.3.2 切向畸变：镜头装歪了

切向畸变，说白了就是镜头和成像平面不平行。这通常是因为镜头安装时有点歪，或者 CMOS 芯片没贴正。

切向畸变用两个参数描述：p1、p2。校正公式是：

x_corrected = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_corrected = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

切向畸变的影响通常比径向畸变小，但在高精度测量中不能忽略。我做手眼标定时，一般会把 p1、p2 都标出来，反正 HALCON 的标定算子会自动处理。

4.4 畸变校正：让图像回归真实

知道了畸变参数，我们就可以对图像进行校正了。HALCON 里有一个非常方便的算子 change_radial_distortion_cam_par，它可以生成一个无畸变的内参，然后用 map_image 算子把畸变图像映射成无畸变图像。

我个人的工作流程是这样的：

1. 用标定板拍 15-20 张不同角度的图片
2. 调用 camera_calibration 算子，得到内参和畸变参数
3. 用 change_radial_distortion_cam_par 生成无畸变内参
4. 用 map_image 对图像做畸变校正
5. 在校正后的图像上做后续的视觉处理

4.5 本章知识结构

为了让你更直观地理解相机成像模型的整体脉络，我画了一张结构图。它把针孔模型、内参矩阵、畸变模型之间的关系串起来了。

这张图把本章的核心内容串起来了。你从顶层往下看，先理解针孔模型怎么把三维世界投影到二维平面，再掌握内参矩阵如何描述相机自身的属性，最后搞清楚畸变模型怎么校正镜头带来的误差。这三块内容，就是相机成像的全部秘密。