相机模型与成像原理：从三维世界到像素坐标

做机器视觉这么多年，我始终觉得一个道理没变过——不懂相机模型，标定就是瞎蒙。你想想看，如果连图像上的一个点是怎么从真实世界投影过来的都不清楚，那你怎么去矫正畸变？怎么去算三维坐标？

这一章，我们就来把相机成像这件事彻底讲透。我会从最经典的针孔模型开始，然后聊镜头畸变这个"捣蛋鬼"，最后把内参和外参矩阵掰开揉碎。嗯，这些都是标定脚本里绕不开的基础。

针孔相机模型：最朴素的成像逻辑

针孔相机模型，说白了就是初中物理课上那个小孔成像实验。光线穿过一个小孔，在后面的感光平面上形成一个倒立的实像。虽然现在的镜头复杂得多，但数学上我们依然用这个模型来近似。

核心公式其实就一个相似三角形关系：

Z / f = X / x = Y / y

其中：
Z  —— 物体到相机光心的距离（深度）
f  —— 焦距（光心到成像平面的距离）
X, Y —— 物体在三维空间中的坐标
x, y —— 物体在成像平面上的坐标

这个公式看着简单，但它是整个视觉几何的基石。我在做第一个3D测量项目时，就是靠这个公式反推物体尺寸的。当时没做标定，直接用标称焦距算，结果差了5毫米——嗯，后来才明白，焦距不是标称值，得标定出来。

镜头畸变：理想模型的"捣蛋鬼"

为什么实际镜头会有畸变？因为镜头是透镜组，不是小孔。光线穿过透镜时会发生折射，尤其是边缘区域。这就导致了两种主要的畸变：

径向畸变

径向畸变是沿着镜头半径方向发生的变形。离光心越远，变形越明显。它又分两种：

• 桶形畸变：图像向外凸出，像桶一样。广角镜头常见。
• 枕形畸变：图像向内凹陷，像枕头。长焦镜头常见。

数学上用泰勒级数来建模：

x_corrected = x * (1 + k1 * r² + k2 * r⁴ + k3 * r⁶)
y_corrected = y * (1 + k1 * r² + k2 * r⁴ + k3 * r⁶)

其中：
r —— 像素点到光心的距离
k1, k2, k3 —— 径向畸变系数

一般标定只算k1和k2就够了，k3用在鱼眼镜头那种大畸变场景。我遇到过一台老相机，k1大得离谱，标定完一看畸变图，边缘都快扭成麻花了。

切向畸变

切向畸变是因为镜头和成像平面不平行造成的。说白了就是镜头装歪了，或者传感器贴歪了。数学上：

x_corrected = x + [2 * p1 * x * y + p2 * (r² + 2 * x²)]
y_corrected = y + [p1 * (r² + 2 * y²) + 2 * p2 * x * y]

其中：
p1, p2 —— 切向畸变系数

内参矩阵：相机自己的"身份证"

内参矩阵描述的是相机内部的光学特性。它把相机坐标系中的点映射到像素坐标系。矩阵形式如下：

     [ fx   0   cx ]
K =  [  0  fy   cy ]
     [  0   0    1  ]

其中：
fx, fy —— 焦距在x和y方向上的像素单位（通常fx ≈ fy）
cx, cy —— 主点坐标（光心在图像上的像素位置）

这个矩阵的作用，就是把三维相机坐标 (Xc, Yc, Zc) 投影到像素坐标 (u, v)：

[ u ]   [ fx   0   cx ]   [ Xc ]
[ v ] = [  0  fy   cy ] * [ Yc ]
[ 1 ]   [  0   0    1 ]   [ Zc ]

注意这里有个隐含的除法——实际像素坐标是 (u/Zc, v/Zc)。这就是为什么远处的物体看起来小。

外参矩阵：相机在空间中的"位置和姿态"

外参矩阵描述的是相机坐标系和世界坐标系之间的变换关系。它由两部分组成：

• 旋转矩阵 R：3×3矩阵，描述相机的朝向
• 平移向量 t：3×1向量，描述相机在世界坐标系中的位置

合起来就是：

[ Xc ]   [ R11  R12  R13  tx ]   [ Xw ]
[ Yc ] = [ R21  R22  R23  ty ] * [ Yw ]
[ Zc ]   [ R31  R32  R33  tz ]   [ Zw ]
[ 1  ]   [   0    0    0   1  ]   [ 1  ]

这个矩阵把世界坐标 (Xw, Yw, Zw) 转换到相机坐标 (Xc, Yc, Zc)。然后经过内参矩阵，最终得到像素坐标。

整个成像链路的完整流程就是：

1. 世界坐标 → 外参矩阵 → 相机坐标
2. 相机坐标 → 内参矩阵 → 图像坐标
3. 图像坐标 → 畸变模型 → 实际像素坐标

HALCON中的参数表示

在HALCON里，标定结果通常用以下方式存储：

参数	HALCON变量名	说明
内参矩阵	CamParam	包含 fx, fy, cx, cy, 畸变系数等
外参矩阵	Pose	包含旋转和平移，通常用7个值表示
畸变系数	内嵌在CamParam中	k1, k2, p1, p2, k3

举个例子，读取标定文件后的典型代码：

* 读取相机内参
read_cam_par('calib.cal', CamParam)

* 读取某一幅图像的外参
read_pose('pose_01.dat', Pose)

* 查看内参
get_cam_par_data(CamParam, 'focus', Focus)
get_cam_par_data(CamParam, 'sx', PixelSizeX)
get_cam_par_data(CamParam, 'sy', PixelSizeY)
get_cam_par_data(CamParam, 'cx', CenterX)
get_cam_par_data(CamParam, 'cy', CenterY)
get_cam_par_data(CamParam, 'k1', K1)
get_cam_par_data(CamParam, 'k2', K2)
get_cam_par_data(CamParam, 'p1', P1)
get_cam_par_data(CamParam, 'p2', P2)