3. 仿射变换数学原理：平移、旋转、缩放、剪切变换的矩阵表示

各位工程师朋友，欢迎来到第三章。上一章我们聊了九点标定的整体流程，今天咱们把镜头拉近，专门看看背后的数学引擎——仿射变换。

说实话，我刚入行时觉得矩阵变换就是纯理论，跟现场调试八竿子打不着。直到有一次在3C产线做手机中框定位，怎么调参数都对不准，最后发现是忽略了剪切变形。嗯，从那以后我再也不敢小看这4x4矩阵了。

3.1 什么是仿射变换？一句话说清楚

仿射变换，说白了就是“线性变换 + 平移”。它保证两件事：

• 直线还是直线（不会变成曲线）
• 平行线还是平行线（不会变成相交线）

你想想看，在机器视觉里，我们处理的都是刚体或近似刚体的零件。相机拍到的图像，跟模板之间无非就是：挪了个位置（平移）、转了个角度（旋转）、放大或缩小（缩放）、或者镜头有点歪（剪切）。这些操作，仿射变换全包了。

[ x' ]   [ a  b  tx ] [ x ]
[ y' ] = [ c  d  ty ] [ y ]
[ 1  ]   [ 0  0  1  ] [ 1 ]

3.2 四种基本变换的矩阵拆解

咱们一个一个来看。我个人习惯把这四种变换记成“两动两不动”——平移和旋转是“动位置”，缩放和剪切是“动形状”。

3.2.1 平移变换

最简单的，没有之一。就是把整个图像往右挪 dx，往上挪 dy。

[ 1  0  dx ]
[ 0  1  dy ]
[ 0  0  1  ]

我在项目中遇到过一种情况：相机安装有微小的机械偏差，导致每次拍照都有固定偏移。这时候直接用平移矩阵做补偿，比重新调机械快得多。

3.2.2 旋转变换

绕原点逆时针旋转 θ 角度：

[ cosθ  -sinθ  0 ]
[ sinθ   cosθ  0 ]
[ 0      0     1 ]

3.2.3 缩放变换

沿 x 轴缩放 sx 倍，沿 y 轴缩放 sy 倍：

[ sx  0   0 ]
[ 0   sy  0 ]
[ 0   0   1 ]

注意：如果 sx ≠ sy，图像会变形。这在标定中其实很常见——比如相机芯片的像素不是正方形，或者镜头有畸变。

3.2.4 剪切变换

这个很多人容易忽略。剪切变换让图像沿一个方向“倾斜”：

[ 1   shx  0 ]   (沿x方向剪切)
[ 0   1    0 ]
[ 0   0    1 ]

[ 1   0    0 ]   (沿y方向剪切)
[ shy 1    0 ]
[ 0   0    1 ]

你想想看，如果相机安装时跟运动平面不平行，拍出来的图像就会有剪切变形。我遇到过一条自动化产线，视觉引导总是偏几毫米，查了三天，最后发现是相机支架被撞歪了0.5度——就是这点剪切，让所有标定数据全废了。

3.3 变换的复合：矩阵乘法顺序很重要

实际应用中，我们很少只用一种变换。比如“先旋转再平移”和“先平移再旋转”，结果完全不同。

H_final = H_translation * H_rotation * H_scaling

下面这张图展示了四种基本变换以及它们的复合效果：

3.4 HALCON中的矩阵操作实战

理论讲完了，咱们看看在HALCON里怎么写。我个人习惯用 hom_mat2d_identity 初始化单位矩阵，然后一步步往上乘。

* 初始化单位矩阵
hom_mat2d_identity (HomMat2D)

* 先缩放：x方向0.5，y方向0.8
hom_mat2d_scale (HomMat2D, 0.5, 0.8, 0, 0, HomMat2D)

* 再旋转：30度（注意是弧度！）
hom_mat2d_rotate (HomMat2D, rad(30), 0, 0, HomMat2D)

* 最后平移：x方向100，y方向200
hom_mat2d_translate (HomMat2D, 100, 200, HomMat2D)

* 应用变换到点
affine_trans_point_2d (HomMat2D, 50, 60, Qx, Qy)

3.5 逆变换：从像素坐标回到世界坐标

九点标定的核心，其实就是求一个从像素坐标到世界坐标的仿射变换矩阵。但有时候我们需要反过来——比如机器人已经走到某个位置，想知道它在图像里对应哪个像素。

逆变换的矩阵就是原矩阵的逆矩阵：

H_inv = hom_mat2d_invert (HomMat2D)

这里有个坑：如果原矩阵的缩放因子接近0（比如 sx=0），矩阵就不可逆了。我在项目中遇到过因为标定板放得太远，导致图像上特征点几乎重合，矩阵接近奇异——最后算出来的逆变换全是NaN。嗯，这种情况只能重新采集标定点。

3.6 本章小结：一张表记住所有