2. 机器人基础：运动学与坐标系变换
机器人运动学是手眼标定的数学基石。只有理解机器人如何描述自身关节与末端位姿，才能将相机坐标系与机器人坐标系精确关联。本章聚焦三个核心模块：坐标系变换（齐次变换矩阵）、正运动学与逆运动学。
2.1 坐标系变换与齐次变换矩阵
在机器人学中，任意两个坐标系之间的位姿关系通过 4×4 齐次变换矩阵 统一描述。该矩阵同时包含旋转与平移信息：
┌ ┐
│ R t │
│ 3×3 3×1 │
│ 0 1 │
└ 1×3 ┘
- R：3×3 旋转矩阵，描述坐标系间的姿态关系。
- t：3×1 平移向量，描述坐标系原点的偏移。
- 最后一行：固定为 [0 0 0 1]，保持矩阵齐次性。
关键性质：齐次变换矩阵可连续左乘，实现坐标系链式变换。例如，从基座到末端执行器的变换为：
T_base_to_ee = T_base_to_shoulder · T_shoulder_to_elbow · … · T_wrist_to_ee
2.2 正运动学
正运动学：已知机器人各关节角度（或位移），求解末端执行器在基坐标系下的位姿。这是机器人控制中最直接的映射关系。
| 输入 | 输出 | 典型方法 |
|---|---|---|
| 关节角度 θ₁, θ₂, …, θₙ | 末端位姿 (x, y, z, α, β, γ) | DH 参数法 + 齐次变换链 |
正运动学计算流程：
- 为每个关节建立 DH 坐标系，确定 DH 参数（a, α, d, θ）。
- 根据 DH 参数写出每个关节的齐次变换矩阵 i-1Ti。
- 将所有矩阵左乘：0Tn = 0T1 · 1T2 · … · n-1Tn。
- 从结果矩阵中提取末端位置与姿态。
实战提示：手眼标定中，正运动学用于计算机器人末端在基坐标系下的精确位姿，作为标定方程的已知量。
2.3 逆运动学
逆运动学：已知末端执行器期望位姿，求解各关节角度。这是机器人轨迹规划与视觉伺服的核心。
| 输入 | 输出 | 难点 |
|---|---|---|
| 末端位姿 (x, y, z, α, β, γ) | 关节角度 θ₁, θ₂, …, θₙ | 多解、奇异位形、无解 |
逆运动学求解策略：
- 解析法：对特定构型（如 6 轴球腕机器人）推导封闭解，速度快、精度高。
- 数值法：使用迭代优化（如牛顿-拉夫森法），通用性强但计算量大。
- 几何法：将空间几何分解为平面几何问题，适用于低自由度机器人。
标定陷阱：逆运动学多解性会导致标定数据不一致。建议在采集标定点时，保持机器人构型一致（如“肘部向上”或“肘部向下”），避免歧义。
2.4 运动学关系总览
2.5 坐标系变换链示例
以典型眼在手外（Eye-to-Hand）标定场景为例，涉及以下坐标系变换：
- 世界坐标系 W：机器人基座或标定板所在固定参考系。
- 机器人基坐标系 B：机器人底座原点。
- 末端坐标系 E：机器人法兰盘或工具中心点（TCP）。
- 相机坐标系 C：3D 相机光心。
- 标定板坐标系 P：标定板上的特征点坐标系。
标定方程核心：
W TC = W TB · B TE · E TC
其中 B TE 由机器人正运动学实时计算，E TC 是待标定的手眼矩阵。
2.6 本章小结
| 概念 | 作用 | 在手眼标定中的角色 |
|---|---|---|
| 齐次变换矩阵 | 统一描述旋转+平移 | 所有坐标系关系的数学载体 |
| 正运动学 | 关节角 → 末端位姿 | 提供标定方程中的末端真值 |
| 逆运动学 | 末端位姿 → 关节角 | 将视觉定位结果转为机器人运动指令 |
学习路径建议：先掌握齐次变换矩阵的乘法与逆运算，再通过仿真环境（如 MATLAB Robotics Toolbox）验证正逆运动学计算，最后将运动学输出与相机观测数据对齐，进入手眼标定核心环节。